高三数学二轮专题教案《数列》.doc

专题二 数列
【考纲解读】
1. 内容解读
①理解数列的定义及数列的分类，了解数列通项公式的意义。能根据递推公式写出数列的前几项，理解an与sn之间的关系。
②理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式。
③理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式。
④综合运用数列，特别是等差、等比数列的性质解决数列综合问题和实际问题。
2. 能力解读
①培养观察能力、化归能力，会根据数列的前几项，通过观察，找出规律，写出数列的通项公式。
②把某些数列能转化为等差数列来解决，将非等比数列变形为等比数列，运用方程思想、分类思想（对公比）解决与等比数列有关的问题
③学会数列有关等式的变形方法。提高探索、猜想能力。
【命题趋势】
1. 热点预测：
2012年高考对数列的概念及表示的考查将主要是求通项公式、前n项和公式以及an与sn之间的关系，以客观题为主，也有可能出现在解答题中的某一步；对于等差数列，仍着重考查学生对等差数列的概念、性质的掌握以及灵活运用数列的有关知识分析问题、解决问题的能力，各种题型均有；而等比数列中，仍侧重于对等比数列的定义、通项及前n项和的基本应用，也会考查等比数列与等差数列、函数、不等式的综合应用，主、客观题目都会出现。
2. 趋势分析：
数列的概念及表示在高考试题中出现频率并不高，概念创新、数列的前n项和sn与an之间的关系的考查是命题的重点；以等差数列的基础知识和等比数列的性质、公式运用与计算等基本能力为主，与函数、不等式结合是2012年高考命题的主要趋势；以求通项为核心，用基本方法对数列求和，将还是重点。数列的应用题以及数列与函数等的综合命题趋势较强，2012年高考复习予以高度关注。
知识回顾
一. 两种基本数列的概念，公式与性质
1．等差数列的概念及通项公式
(1)定义：an－an－1＝d(d为常数)⇔2an＝an＋1＋an－1 (n≥2，n∈N*)；
(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d⇔an＝an＋b(a＝d，b＝a1－d)．
2．等差数列的性质
(1)an＝am＋(n－m)d，d＝；
(2)m＋n＝l＋k⇒am＋an＝al＋ak(反之不一定成立)；特别地，当m＋n＝2p时，有am＋an＝2ap；
(3)若{an}、{bn}是等差数列，则{kan＋tbn}(k、t是非零常数)是等差数列；
(4)等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，……(注：各项均不为0)仍是等差数列．
3．等差数列的前n项和公式
Sn＝＝na1＋d⇔Sn＝An2＋Bn(A＝，B＝a1－，n≠0)．
4．等比数列的概念及通项公式
(1)定义：＝q(q≠0)⇔a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)；
(2)通项公式：an＝a1qn－1⇔an＝a·qn(a＝，q≠0)．

5.等比数列前n项和公式
Sn＝na1 (q=1)

6．等比数列的性质
(1)an＝amqn－m；
(2)若{an}、{bn}是等比数列，则{kan}、{anbn}等也是等比数列；
(3)m＋n＝l＋k⇒aman＝alak；
(4)等比数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，……(注：各项均不为0)仍是等比数列；
(5)等比数列{an}中当项数为2n时，＝q；项数为2n－1时，＝q.
7．数列求和的常用方法
(1)公式法：①等差数列求和公式(三种形式)，②等比数列求和公式(三种形式)，
③1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2,1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2.
(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中间到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n项和公式的推导方法)．
(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法．(这也是等比数列前n项和公式的推导方法之一)．
(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有：
①＝－，
②＝(－)．

第一讲 等差数列
例题1 (2011.四川) 数列{}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N*), 若b3=-2, b10=12, a8 = ( )
A. 0 B. 3 C. 8 D. 11
变式训练：1. {}为等差数列，且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d =（ ）
A. B. -2 C. D. 2
2.已知{}为等差数列，a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99,则a20等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D. 7
3.（2011.湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A. 1升 B. 升 C. 升 D. 升
例题 2 (2011.全国) 设sn为等差数列{}的前n项和，若a1=1，公差d=2, sk+2-sk=24,则k=（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
变式训练：1. 设{}为等差数列，公差d=-2, sn为其前n项和. 若s10=s11，则a1=( )
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
2. 记等差数列{}的前n项和为sn. 设s3=12，且2a1, a2, a3+1成等比数列，求sn.

例题3已知等差数列{}满足{}的前项和为。
求{}的通项公式

变式训练: 已知数列{}是公差不为零的等差数列，且成等比数列。
求数列{}的通项公式；

专题第二讲 等比数列
例题1. 设sn等比数列{}的前n项和，已知3s3=a4-2, 3s2=a3-2，则公比q=（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
变式训练：1.已知等比数列的公比为正数，且，则（ ）
A. B. C. D. 2
2. (2011.广东)已知{}是递增等比数列，a2=2, a4-a3=4, 则此数列的公比q=＿＿.
例题2. (2011.全国)设等比数列{}的前n项和为sn，已知a2=6, 6a1+a3=30，求an和sn.

变式训练：1.（2011.湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5, 13后成为等比数列{bn}中的b3, b4, b5.
（1） 求数列{bn}的通项公式；
（2） 数列{bn}的前n项和为sn，求证：数列{}是等比数列.

2. 已知等比数列{}中，a1=, 公比q=.
（1） sn为{}的前n项和，证明： =.
（2） 设bn=㏒3a1+㏒3a2+…+㏒3an，求数列{bn}的通项公式.

例题3已知数列{}中，是其前项和，且。
（1）设数列求证：数列{}是等比数列；
（2）设数列，求证：数列{}是等差数列；

练习3 数列{}的前项和，点在直线上。
（1）若数列{}为等比数列，求常数的值；
（2）求数列{}的通项公式；

第三讲 数列的通项公式与求和
例题4 设数列{an}的前n项和为sn，若s9=72，则a2+a4+a9=( )
1. 等比数列{an}的前n项和为sn，已知s1, s3, s2成等差数列
（1） 求{an}的公比q
（2） 当a1-a3=3，求sn

2. 等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16
（1） 求数列{an}的通项公式；
（2） 若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求{bn}的通项公式及前项和sn

例题5. 数列{}中，是常数，,且成公比不为1的等比数列。
（1） 求的值；
（2） 求{}的通项公式。

变式训练: 设数列{}满足
求数列{}的通项公式；

练习：
1.设各项均为正数的数列{}的前项和。已知数列{}是公差为的等差数列。
求数列{}的通项公式(用表示)；

2. 已知函数数列{}的前项和，点均在函数的图象上。
求数列{}的通项公式；
3. 已知数列{}的前项和满足
求数列{}的通项公式

例题5. 设数列{}的前项和为,数列{bn}为等差数列，且
(1) 求数列{}和{bn}的通项公式；
(2) 设，求数列的前n项和Tn

变式训练：1.已知数列{}的前项和为，等差数列{bn}中，,且, 又成等比数列.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 求数列的前n项和Tn.

2.数列{}的前项和为，，点在直线上，
（1） 当实数t为何值时，数列{}是等比数列？
（2） 在（1）的结论下，设，Tn.是数列的前n项和，求的值.

f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
9．(2011年高考江苏卷)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．
10．(2011年高考湖南卷)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.
11．(2011年高考陕西卷)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．
12．(2011年高考广东卷)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
三、解答题
13．(2011年高考辽宁卷)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．

14．(2011年高考安徽卷)在数1和100之间插入n个实数，使得这(n＋2)个数构成递增的等比数列，将这(n＋2)个数的乘积记作Tn，再令an＝lg Tn，n≥1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.

15．(2011年高考湖北卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a，an＋1＝rSn.
求数列{an}的通项公式；
若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．

16．(2011年高考浙江卷)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；
(2)记An＝＋＋＋…＋，Bn＝＋＋＋…＋，当n≥2时，试比较An与Bn的大小．

17．(2011年高考江苏卷)设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn.已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，Sn＋k＋Sn－k＝2(Sn＋Sk)都成立．
(1)设M＝{1}，a2＝2，求a5的值；
(2)设M＝{3,4}，求数列{an}的通项公式．

18．(2011年高考山东卷)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列

第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18

(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)n·ln an，求数列{bn}的前n项和Sn.

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