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( 教改) 专科经济数学基础期末复习指导

四川电大 余梦涛

经济数学基础是广播电视大学财经、 管理各专业的一门统设必修课, 也是一门重要的基础课。该课程计划学时为90, 其中电视课36学时, 5学分, 内容包括一元函数微积分、 概率论和矩阵代数等三部分。教材采用”经济数学基础”( 周兆麟编) 和李林曙等编的《跟我学经济数学》( 均由高等教育出版社出版) , 另外还配有《经济数学基础CAI课件》和《经济数学基础速查卡》等辅助教学媒体。为了帮助同学更好地学习、 掌握教学大纲规定的教学内容, 下面给出本门课程的具体要求。

( 一) 基本要求

第1章 函数
1、 基本要求
( 1) 、 理解函数概念, 了解函数的两要素---------定义域和对应关系。会判断两函数是否相同。
( 2) 、 掌握求函数定义域的方法, 会求函数数值。会确定函数值域。
( 3) 、 了解函数的属性, 掌握函数奇偶性的判别, 知道它的几何特点。
( 4) 、 了解复合函数概念, 会对复合函数进行分解如已知
求出 。知道初等函数的概念。
( 5) 、 了解分段函数概念, 掌握求分段函数定义域和函数值的方法。
( 6) 、 理解常数函数、 幂函数、 指数函数、 对数函数和三角函数( 正弦、 余弦、 正切和余切) 。
( 7) 、 了解需求、 供给、 成本、 平均成本、 收入和利润等经济分析中常见的函数。
( 8) 、 会列简单应用问题的函数关系式。
2、 重点
函数概念、 定义域求法、 函数的奇偶性, 几类基本初等函数、 复合函数和经济分析中常见的函数。

第2章 一元函数微分学
1、 基本要求
( 1) 、 知道极限概念( 数列极限、 函数极限、 左右极限) , 知道极限存在的充分必要条件;

( 2) 、 了解无穷小量的概念, 知道无穷小与无穷大的关系以及有界变量乘无穷小仍为无穷小的性质, 如 。

( 3) 、 掌握极限的四则运算法则和两个重要极限:

4) 、 掌握极限的计算方法
( 5) 、 了解函数在一点连续的概念, 会求函数的间断点。
( 6) 、 理解导数定义, 会求曲线的切线。知道可导与连续的关系
( 7) 、 了解微分概念, 即 。会求函数的微分。
( 8) 、 会求二阶导数。
2、 重点
极限概念及计算方法, 两个重要极限, 函数的连续性, 导数定义及基本公式, 可导与连续的关系, 导数的计算( 四则运算法则, 复合函数求导法则, 隐函数求导法则, 二阶导数

第三章 导数的应用

1、 基本要求

( 1) 、 掌握函数的单调性的判别方法, 会求函数的单调区间。
( 2) 、 了解函数极值的概念, 掌握极值存在的必要条件和极值点的判别方法。分清函数的极值点与驻点的区别与联系, 会求函数的极值。
( 3) 、 掌握求边际成本、 边际平均成本、 边际收入和边际利润的方法。会求需求弹性。
( 4) 、 了解最值概念, 熟练掌握经济分析中的平均成本最低、 收入最大和利润最大等应用问题的解法。
2、 重点
函数的极值及其应用问题。

第四章 一元函数积分学

1、 基本要求

( 1) 、 理解原函数与不定积分概念, 弄清两者之间的关系。会求当曲线的切斜率已知时, 满足一定条件的曲线方程。知道不定积分与导数( 微分) 之间的关系。

( 2) 熟练掌握不定积分的性质

( 3) 熟记不定积分基本公式
( 4) 熟练掌握不定积分的计算方法: 熟练掌握的直接积分法。、 第一换元积分法( 凑微分法) 分部积分法。
分部积分公式为:

会求被积分函以下类型的不定积分和定积分:

( 5) 了解定积分的定义, 设f(x,y)在[a,b]上连续, 存在F(x), 使得
则

( 6) 了解不定积分和定积分的性质, 特别是:

( 7) 熟练掌握不定积分的计算方法: 熟练掌握的直接积分法。、 第一换元积分法( 凑微分法) 分部积分法。
分部积分公式为:

( 8) 知道无穷限积分的收敛性, 会求无穷限积分。

( 9) 、 知道变上限的定积分概念, 知道 的原函数。即

( 10) 、 记住奇偶函数在对称区间上积分的性质。即 是奇函数, 则有

若 是偶函数, 则有
。

( 2) 、 重点
原函数与不定积分概念, 不定积分的性质, 不定积分基本公式, 不定积分、 的直接积分法, 第一换元积分法( 凑微分法) , 分部积分法。定积分的计算。

第五章 定积分的应用

1、 基本要求

(1)掌握用不定积分和定积分求总成本函数、 收入函数和利润函数或其增量的方法。
已知边际成本 , 固定成本 , 则

已知边际收入 , 则:

已知 和固定成本 , 则:

(2)、 掌握定积分计算简单的平面图形的面积的方法。
( 3) 、 掌握简单的微分方程的求解方法。

2、 重点
积分在经济分析中的应用。
第6章 数据处理
　　1、 基本要求

1． 了解总体、 样本、 均值、 加权平均数、 方差、 标准差、 众数和中位数等概念, 会作频数直方图和频率直方图。
2． 掌握均值、 加权平均数、 方差、 标准差、 众数和中位数的计算方法。
2、 重点
均值、 方差、 标准差和中位数等概念及计算方法。

第7章 随机事件与概率
1、 基本要求

1． 理解或了解一些基本概念。主要包括:
（1） 知道随机事件的概念, 了解概率概念及性质;
（2） 知道事件的包含、 相等以及和、 积、 差, 了解事件互不相容和对立事件等概念;
（3） 会解简单古典概型问题;
（4） 了解条件概率概念;
（5） 理解事件独立概念。

2． 握概概率的加法公式和乘法公式, 掌握有关事件独立性的计算。
2、 重点
事件的包含、 相等以及和、 积、 差、 互不相容和对立事件等概念; 事件独立概念, 概率的加法公式和乘法公式, 掌握有关事件独立性的计算。
第8章 随机变量与数字特征
1、 基本要求

1.理解或了解一些基本概念
⑴了解离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布的性质;
　　⑵了解二项分布、 泊松分布的概率分布列或密度, 记住它们的期望与方差, 会计算二项分布的概率;
　　⑶了解均匀分布;
(4)理解正态分布、 标准正态分布, 记住其期望与方差;
　 (5)了解随机变量期望和方差的概念及性质。

3． 熟练掌握一般正态分布的概率计算问题; 掌握随机变量期望和方差的计算方法
2、 重点
1、 离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布。
　　2、 二项分布、 泊松分布的概率分布列或密度, 记住它们的期望与方差, 会计算二项分布的概率;
　　3、 均匀分布;
4、 正态分布、 标准正态分布, 记住其期望与方差;
　5、 随机变量期望和方差的概念及性质。

6、 熟练掌握一般正态分布的概率计算问题; 掌握随机变量期望和方差的计算方法

第9章 矩阵

1、 基本要求

( 1) 、 理解矩阵、 行阵、 列阵、 零阵和矩阵相等等概念。
( 2) 熟练掌握矩阵的加法、 数乘、 乘法和转置等运算。
矩阵乘法还有以下特点:
i. 不满足交换律, 即AB=BA一般不成立( 满足AB=BA的两个矩阵A, B称为可交换的) 。
ii. 不满足消去律, 即由AC=BC及 得不到A=B。当C可逆时, 。
iii. , 可能有AB=0。
( 3) 、 了解单位矩阵、 数量矩阵、 对角矩阵、 三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质。
( 4) 、 理解矩阵可逆与逆矩阵概念, 了解可逆矩阵和逆矩阵的性质。熟练掌握用初等行变换法求逆矩阵的方法。

( 5) 、 熟练掌握矩阵的初等行变换法。熟练掌握用初等行变换求矩阵的秩、 逆矩阵、 阶梯形矩阵、 行简化阶梯形矩阵等方法。
( 6) 、 了解矩阵秩的概念, 熟练掌握其求法。
( 7) 、 记住以下结论:

2、 重点
矩阵概念, 矩阵乘法运算, 可逆矩阵及逆矩阵求法, 矩阵的秩, 初等行变换。

第10章 线性方程组

1、 基本要求

( 1) 、 了解线性方程组的有关概念: n元线性方程组、 线性方程组的矩阵表示、 系数矩阵、 增广矩阵、 0解、 非0解、 一般解和特解。
( 2) 、 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理。设线性方程组
, 则AX=b 有解的充分必要条件是

(3)、 熟练掌握齐次线方程组AX=0的有关结论和解法。
( 4) 、 熟练掌握非齐次线性方程组AX=b 的有关结论和解法。

2、 重点
线性方程组, 有解判定定理和解法。
考试采用闭卷笔试, 卷面满分为100分, 60分为及格, 考试时间为120分钟。
一元函数微积分( 含基础知识) 、 矩阵代数各部分所占分数的比与它们在教学内容中所占课时的百分比大致相当, 一元函数微积分( 含基础知识) 约占60%, 矩阵代数约占20%, 概率统计约占20%。试题类型分为单项选择题、 填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一, 即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案; 填空题只要求直接填写结果, 不必写出计算过程和推理过程; 解答题包括计算题、 应用题或证明题, 解答题要求写出文字说明、 演算步骤或推证过程。三种题型分数的百分比为: 单项选择题和填空题40%, 解答题60%( 包括证明题, 分数约占5%) 。

( 二) 例题分析

一、 函数
例题
例1 求函数的定义域。
解 的定义域是, 的定义域是, 但由于在分母上, 因此。故函数的定义域就是上述函数定义域的公共部分, 即。
（1） 理解函数的对应关系的含义: 表示当自变量取值为时, 因变量的取值为。例如, 对于函数, 表示运算:

于是, , 。
例2 设 , 求。
解 由于, 说明表示运算: , 因此
＝
再将代入, 得
=
（2） 会判断两函数是否相同。
从函数的两个要素可知, 两个函数相等, 当且仅当她们的定义域相同, 对应规则相同, 而与自变量或因变量所用的字母无关。
例3 下列函数中, 哪两个函数是相等的函数:

A.与
B. 与
解 A中的两个函数定义域相同, 对应规则也相同, 故它们是相等的函数; B中的两个函数定义域不同, 故它们是不相等的函数。
（3） 了解分段函数概念, 掌握求分段函数定义域和函数值的方法。
例4 设, 求函数的定义域及。
解 函数的定义域是, ,。
2．掌握函数奇偶性的判别, 知道它的几何特点;
判断函数是奇函数或是偶函数, 能够用定义去判断, 即
（1） 若, 则为偶函数;
（2） 若, 则为奇函数。
也能够根据一些已知的函数的奇偶性, 再利用”奇函数±奇函数、 奇函数×偶函数仍为奇函数; 偶函数±偶函数、 偶函数×偶函数、 奇函数×奇函数为偶函数”的性质来判断。
例5 下列函数中, ( ) 是偶函数。
A. B.
C. D.
解 根据偶函数的定义以及奇函数×奇函数是偶函数的原则, 能够验证A中和都是奇函数, 故它们的乘积是偶函数, 因此A正确。既然是单选题, A已经正确, 那么其它的选项一定是错误的。故正确选项是A。
3．了解复合函数概念, 会对复合函数进行分解;
例6 将复合函数分解成简单函数。
解 。
4．知道初等函数的概念, 牢记常数函数、 幂函数、 指数函数、 对数函数和三角函数( 正弦、 余弦、 正切和余切) 的解析表示式、 定义域、 主要性质及图形。
基本初等函数的解析表示式、 定义域、 主要性质及图形微积分常要用到, 一定要熟练掌握。
5．了解需求、 供给、 成本、 平均成本、 收入和利润函数的概念。
6．会列简单应用问题的函数表示式。
例7 生产某种产品的固定成本为1万元, 每生产一个该产品所需费用为20元, 若该产品出售的单价为30元, 试求:
（1） 生产件该种产品的总成本和平均成本;
（2） 售出件该种产品的总收入;
（3） 若生产的产品都能够售出, 则生产件该种产品的利润是多少?
解 ( 1) 生产件该种产品的总成本为;
平均成本为。
( 2) 售出件该种产品的总收入为。
( 3) 生产件该种产品的利润为

＝

＝.

二、 极限与连续
例1 当时, , 又在处连续, 求。
解: ∵=
=
=
= -1
∴f(0)= -1
例2 当时, , 又在x=0处连续, 求f(0)。
解: ∵

∴f(0)=2
例3 当时, 下列变量中, ( ) 为无穷小量。
( Ａ) lnx ( Ｂ) ( Ｃ) ( Ｄ)
解: ∵

答案: ( Ｂ)
例４ 当时, 下列变量中( ) 为无穷小量。
( A) ( B)
( C) ( D)
解: ∵

答案: ( A)
例5 函数
当时, f(x)极限存在,
则a=_____。

解: ∵

2+a=5 ∴a=3
例6 下列结论正确的是( ) 。
( A) ( B)
( C) ( D)
答案: ( C)
例7 设
, 则a=( ) 时, f(x)在x=0处连续。
解: f(0)=1

∴a+2=1 a=-1
(A)0 ( B) 1 ( C) 2 ( D) -1
答案: ( D)
例8 数列1, 0, -1, 1, 0, -1, ……( ) 。
( A) 收敛于-1 ( B) 收敛于1
( C) 收敛于0
答案: ( D)
例9 求极限
1．
解: 原式

2．
解: 原式

3．
解: 原式

4．
解: 原式
==3
5．
解: 原式

6．
解: 原式

7．
解: 原式=

8．
解: 原式
9．
解: 原式

10．
解: 原式

11．
解: 原式

12．
解: 原式

13．
解: 原式

三、 导数与微分
例1 求曲线在x=1处的切线
的方程。
解:
又x=1时, y=e
∴切线方程为: y-e=e(x-1)
即: y = ex
例2 设需求函数为,其中q为需求量, p为价格。
试求:
（1） 需求量q对价格p的弹性;
（2） 当价格p=10时, 求需求弹性值, 并说明其经济意义。
解:(1)需求量q对价格p的弹性为

∵

∴需求量q对价格p的弹性为:

（3） 当p=10时, 需求量q对价格p的弹性
,
( 负号表示需求量q是价格的单调减函数) 。其经济意义为: 在价格p=10
的基础上, 若价格提高( 减少) 1%, 需求量将减少( 增加) 1.25%。
例3:下列结论中( ) 是正确的。
A． f(x)在x=x0处连续, 则f(x)在x0处可导。
B． f(x)在x=x0处极限存在, 则f(x)在x0处有定义
C． f(x)在x0处有定义, 则f(x)在x0处有极限
D． f(x)在x0处不连续, 则f(x)在x0处不可导
答案: ( D)
例4 试在曲线上求一点, 使过该点的切线方程平行于直线。
解: 已知直线的斜率为k=2。
又由线在任一点的切线斜率为
要使切线平行于已知直线, 就要求斜率相等, 即2x=2,
∴x=1,y=12=1
故曲线在( 1, 1) 点的切线平行于已知直线y=2x-1。
例5 求下列函数的导数或微分:
( 1) , 求dy。
解:

( 2) , 求y'。
解:

( 3) , 求。
解:

(4)求。
解:

( 5) , 求。
解:

(6) 求

( 7) , 求。
解: 这是隐函数, 方程两端同时对x求导。

∴
又∵x=0时, 代入原方程y=1
∴
( 8) , 求。
解: 这是隐函数, 方程两端同时对x求导。

(11) 求
解: 求函数的二阶导数时, 先求一阶导数, 再求二阶导数。

(12) 求
解:

例6: 下列等式中( ) 是正确的。

答案: D

三、 导数的应用
例1在指定区间[－10, 10]内, 函数( ) 是单调增加的。
A. B. C. D.
解 这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简单的函数, 从图形上就比较容易看出它们的单调性。
A中是正弦函数, 它的图形在指定区间[－10, 10]内是波浪形的, 因此不是单调增加函数。
B中是指数函数, (=－<0, 故它是单调减少函数。
C中是幂函数, 它在指定区间[－10, 10]内的图形是抛物线, 因此不是单调增加函数。
根据排除法可知正确答案应是D。
也能够用求导数的方法验证: 在指定区间[－10, 10]内, 只有
故是单调增加函数。
正确的选项是D。
( 2) 函数的单调增加区间是( ) 。
解 用求导数的方法, 因

令则, 则函数的单调增加区间是。
2．了解一些基本概念。
( 1) 了解函数极值的概念, 知道函数极值存在的必要条件, 知道函数的极值点与驻点的区别与联系;
　　( 2) 了解边际概念和需求价格弹性概念;
　　3．熟练掌握求经济分析中的应用问题( 如平均成本最低、 收入最大和利润最大等) , 会求几何问题中的最值问题。掌握求边际函数的方法, 会计算需求弹性。
例2 经济应用题
1．生产某种产品台时的边际成本( 元/台) , 固定成本500元, 若已知边际收入为试求
（1） 获得最大利润时的产量;
（2） 从最大利润的产量的基础再生产100台, 利润有何变化?
解 这是一个求最值的问题。
( 1)
=
=
令, 求得唯一驻点。因为驻点唯一, 且利润存在着最大值, 因此当产量为 时, 可使利润达到最大。
( 2) 在利润最大的基础上再增加100台, 利润的改变量为

即利润将减少2500元。
2. 设某产品的成本函数为
( 万元)
其中q是产量, 单位: 台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少?
平均成本
解得q1=50( 台) , q2=－50( 舍去)
因有意义的驻点唯一, 故q=50台是所求的最小值点。当产量为50台时, 平均成本最小。
最小平均成本为
( 万元)
3. 生产某种产品的固定费用是1000万元,每多生产1台该种产品,其成本增加10万元, 又知对该产品的需求为q=120-2p(其中q是产销量, 单位: 台; p是价格,单位:万元).求
(1) 使该产品利润最大的产量;
(2) 该产品的边际收入.
解( 1) 设总成本函数为C(q), 收入函数为R(q), 利润函数为L(q), 于是
C(q)=10q+1000(万元)
R(q)=qp=(万元)
L(q)＝R(q)-C(q)=(万元)

得到 q=50(台)。
因为驻点唯一, 故q＝50台是所求最小值点。即生产50台的该种产品能获
最大利润。
(2) 因 R(q)=, 故边际收入R¢(q)=60－q(万元/台) 。

(3) 例3 确定的单调区间。
解: 该函数的定义域为( )

令, 得
X

+ — +

↗ ↘ ↗
∴函数f(x)在及内单调增加, 在( 1, 2) 内单调减少。
例4 设q=100-8p为需求函数, 当需求量q=( )时, 总收入R最大。
A、 100 B、 50 C、 200 D、 25
答案: ( B)
例3 若, 则是f(x)的( ) 。
A、 极大值点 B、 最大
C、 极小值点 D、 驻点
答案: ( D)
例5 若函数f(x)在[a,b]内恒有, 则f(x)在[a,b]上的最大值为______。
答案: f(a)
例6 当x=4时, 取得极值, 则p=_____。
解:
令

答案: -8。
例7 设函数f(x)在点的领域可导, 而且如果在点的左右由正变负, 则为f(x)的_____。
答案: 极大值。
例8求函数的极值。
解: 此函数定义域为( 0, +)

令, 即
得
x

(,1)
1

+
0
-
0
+

0

由上表可知, 函数在处达到极大值, 极大值为; 函数在x=1处达到极小值, 极小值为f(1)=0。
例9 已知生产某种商品( 单位: 千件) 的成本函数为( 单位: 千元) , 试求使该产品的平均成本最小的产量和最小平均成本, 并求此时的边际成本。
解: 设生产q千件产品的平均成本为
则

令, 解得q=15, q=-15( 舍去)
∵q=15是平均成本函数在定义域内的唯一驻点。
∴q=15是平均成本的极小值点也是最小值点。
即当产量q=15千件时, 该产品的平均成本最小, 最小平均成本为为C( 15) =18( 千元) 。
又∵边际成本
∴当q=15时, C’( 15) =18 即当产量为15千件时的边际成本为18千元/千件。
例10 某厂生产某种产品, 其固定成本为 元, 每生产1吨产品成本增加60元, 对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p (q为需求量, p为价格), 试求:
( 1) 成本函数, 收入函数;
( 2) 产量为多少吨时利润最大;
( 3) 获得最大利润时的价格及需求弹性。
解: ( 1) 成本函数
∴C(q)= +60q, 收入函数R( q) =p.q, ∵q=1000-10p
∴

( 2) 利润函数L(q)=R(q)-C(q)
∴

令, 则q=200
∵在定义域内, L( q) 只有唯一的驻点;
∴产量q=200吨时, 利润最大。
( 3) ∵
∴利润最大时的价格( 元)
又∵需求函数
∴需求弹性

价格p=80元时, 需求弹性=-4。
四、 不定积分
例1 已知
, 则。
解:
答案: 1
例2 设, 则。
解:
答案:
例3 。
答案:
例4 下列函数中, ( ) 是的原函数。
( A) ( B)
( C) - ( D) -
解:

答案: ( D)
例5 若, 则( ) 。
( A) ( B) ( C) - ( D) -
解:

答案: ( B)
例6 计算下列不定积分:
1．
解: 原式=

2．
解: 原式=
3.
解:

原式=

4.
解

原式=

5．
解: 原式=

6．
解:

∴原式=

7．
解: 原式=

8．
解: 原式==
9．
解: 原式=

10．
解:

原式=

例7 曲线在点x处的切线斜率为-x+2, 且曲线过( 2, 5) 点, 求该曲线方程。
解: ∵曲线在点x处的切线斜率为-x+2, ∴

即 ∵曲线过点( 2, 5) ,

即 c=3∴曲线方程为
定积分

例1 =_______。
答案: 0
例2 设f(x)是[-a,a]上奇函数, 则定积分
=_______。
答案: 0
例3 若, 则P'(x)=_____。
答案: -
例4 设, 则F'(0)=_____。
解:

答案: 1
例5 下列定积分值为0的为( ) 。
( A) (B)
(C) (D)
答案: ( C)
例6 计算下列定积分
1．
解: 原式=

2、

解: 原式=
3．
解: 原式=

4．
解: 原式=

5．
解: 原式=

6．
解: 原式=

7．设函数 求
解:

8．
解: 原式=
=

例7 计算下列无穷限积分:
1．
解:

2．

解:

此广义积分发散
例8 某企业生产q吨产品时的边际成本为
( 元/吨) , 且固定成本为900元, 试求产量为多少时平均成本最低?
解: 总成平均本函数

平均成本函数为

令=0,解得q=300 q=-300(舍去)
因此C(q)仅有一个驻点q=300, 由实际问题本身可知有最小值, 故当产量为300吨时, 平均成本最低。
例9 已知某商品的边际成本为C’( q) =(万元/台), 固定成本为C0=10万元, 又已知该商品的销售收入函数为R(q)=100q( 万元) , 求( 1) 使利润最大的销售量和最大利润; ( 2) 在获得最大利润的销售量的基础上, 再销售20台, 利润将减少多少?
解: ( 1) 总成本函数

又R(q)=100q
利润

令=0
q0=200唯一)
由实际问题知, 唯一极值点q0=200即为最大值点, 因此当销售量为200时, 利润最大, 最大利润为

单位( 万元)
( 2) 在获得最大利润的销售量的基础上再销售20台, 利润变化为

即在销售量为200台的基础上, 再销售20台, 利润将减少100万元
例10、 求曲线。

例11、 求解微分方程

第6章 数据处理
重点
均值、 方差、 标准差和中位数等概念及计算方法。
例 设有一组5个数据: x1=0.051, x2=0.055, x3=0.045, x4=0.065, x5=0.048. 记
, 则 =( )
A.0 B.0.0528
C. D.

第7章随机事件与概率
2、 重点
事件的包含、 相等以及和、 积、 差、 互不相容和对立事件等概念; 事件独立概念, 概率的加法公式和乘法公式, 掌握有关事件独立性的计算。

例1、
1、 A, B互为对立事件, 已知, 则( ) 。
解 1－.
2、 袋中共有7个球, 其中4个白球, 3个红球, 若第1次取出一个白球, 不放回。则第2次再取到白球的概率是( ) 。
A． B． C. D.
解 第1次取出一个白球后, 若不放回, 则袋中还剩6个球, 其中3个白球, 3个红球,故第2次再取到白球的概率是, 正确的选项是C。
3．设A, B是两个互不相容的事件, 则下列正确的式子是( ) 。
A． B．
C. D.
解 A中式子当A, B是相互独立的两个事件, 才成立;
B中式子当A, B是相互对立的两个事件, 才成立;
C中式子当A, B是两个互不相容的事件, 成立;
D中式子当A, B是相互对立的两个事件, 才成立。
故正确的选项是C。
4. 设任意二事件A,B, 那么下式成立的是( )
A. P(A－B)=P(A)－P(B) B. P(A－B)=P(A)－P(AB)
C. P(A+B)=P(A)+P(B) D. P(AB)=P(A)P(B)
解 A中式子当A, B是互不相容的两个事件, 才成立;
B中式子对任意两个事件都成立;
C中式子当A, B是互不相容的两个事件, 才成立;
D中式子当A, B是相互对立的两个事件, 才成立。
故正确的选项是B。
例2 盒中有4枚2分,2枚1分的硬币共6枚, 从中随机取出3枚, 求3枚硬币的面值之和是5分的概率.
解 用①, ②, ③, ④表示4枚2分硬币, 用５, ６表示2枚1分硬币。
从6枚硬币中任取3枚, 所有可能组合为
①②③ ①②④ ①②５ ①②６
①③④ ①③５ ①③６
①④５ ①④６ ①５６
②③④ ②③５ ②③６ ②④５ ②④６ ②５６
③④５ ③④６ ③５６
④５６
共n=20种, 面值和为5的有
①②５ ①②６ ①③５ ①②６ ①④５ ①④６
②③５ ②③６ ②④５ ②④６ ③④５ ③④６
共 k＝12种。于是, 所求概率为

或从6中取3, 即

面值和为5分, 只能是从4个2分中取2个, 2个1分中取1个, 有

于是, 所求概率为

2．已知两个事件A, B相互独立, 且已知, , 求。
解 由 得

3．设, , 求。
解

第8章随机变量与数字特征

重点
1、 离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布。
　　2、 二项分布、 泊松分布的概率分布列或密度, 记住它们的期望与方差, 会计算二项分布的概率;
　　3、 均匀分布;
4、 正态分布、 标准正态分布, 记住其期望与方差;
　5、 随机变量期望和方差的概念及性质。

6、 熟练掌握一般正态分布的概率计算问题; 掌握随机变量期望和方差的计算方法

例1 填空、 选择题
1．设随机变量服从二项分布, 则( ) 。
A． B．
C. D.
解 正确的选项是B。
2. 设随机变量X的方差D(X)=1, 则D(－2X+3)=( )。
A. －2 B. －1 C. 1 D.4
解 根据方差的性质可知
D(－2X+3)=( －2) 2D(X)=4, 故正确的选项是D。
3. 设随机变量X~N(m,s2)。若s变大, 概率将会( )。
A. 单调减少 B. 单调增加 C. 保持不变 D. 增减不定
解 由于

而