第二章 单元质量评估(二).doc

第二章　单元质量评估(二)

一、选择题(每小题5分，共60分)
1．下列说法正确的是(　　)
A．两个单位向量的数量积为1
B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
C.＝－
D．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b
解析：A中，两向量的夹角不确定，故A错；B中，若a⊥b，a⊥c，b与c反方向，则不成立，故B错；C中，应为＝－，故C错；D中，因为b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b，故D正确．
答案：D
2．设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　)
A．(－15，12)　　　　　 B．0
C．－3 D．－11
解析：a＋2b＝(－5，6)，(a＋2b)·c＝－3.
答案：C
3.

在五边形ABCDE中，(如图)，＋－＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：＋－＝＋＋＝.
答案：B
4．若两个非零向量a，b使得|a－b|＝|a|＋|b|成立，则下列各式成立的是(　　)
A．a·b＝1
B．a·b＝|a||b|
C．a·b＝－|a||b|
D．－|a||b|<|a·b|<|a||b|
解析：由|a－b|＝|a|＋|b|，知a与b方向相反，故选C.
答案：C
5．已知A(4，6)，B(－3，)，有下列向量：
①a＝(，3); ②b＝(7，)；
③c＝(－，－3); ④d＝(－7，9)．
其中，与直线AB平行的向量是(　　)
A．①② B．①③
C．①②③ D．①②③④
解析：＝(－7，－)，
∵(，3)＝－(－7，－)＝－，(7，)
＝－(－7，－)＝－，(－，－3)＝，
∴与直线AB平行的向量是①②③.
答案：C
6．如图，M，N分别是AB，AC的一个三等分点，且＝λ(－)成立，则λ＝(　　)

A. B.
C. D．±
解析：＝，且＝－.
答案：B
7．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为矩形，则(　　)
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
解析：＝－＝a－b，＝－＝d－c，又＝，故a－b＝d－c.
答案：B
8．若|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：a·(b－a)＝a·b－a2
＝1×6×cosθ－1＝2.
cosθ＝，θ∈[0，π]，故θ＝.
答案：C
9．与向量a＝(1，1)平行的单位向量为(　　)
A．(，)
B．(－，－)
C．(±，±)
D．(，)或(－，－)
解析：与a平行的单位向量为±.
答案：D
10．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是(　　)
A. B.
C．3 D．2
解析：∵＝－
＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，
∴||＝

＝≤3.
答案：C
11．在△ABC内，存在一点P，使||2＋||2＋||2最小，则点P是△ABC的(　　)
A．重心 B．外心
C．垂心 D．内心
解析：以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a，0)，C(a，0)，A(m，n)，P(x，y)，则||2＋||2＋
||2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2＋(x－m)2＋(y－n)2
＝3x2＋3y2－2mx－2ny＋2a2＋m2＋n2
＝3(x－)2＋3(y－)2＋2a2＋m2＋n2.
要使上式取最小值，只需x＝，y＝，
即
所以点P为△ABC的重心．
答案：A
12．A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：∵(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，∴||＝||，∴△ABC为等腰三角形．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知a＝(1，1)，b＝(1，0)，c满足a·c＝0且
|a|＝|c|，b·c>0，则c＝________.
解析：设c＝(x，y)．
由a·c＝0，得x＋y＝0.　①
再由|a|＝|c|，得x2＋y2＝2.　②
由①②，得或
又∵b·c>0，∴x>0，∴c＝(1，－1)．
答案：(1，－1)
14．在△ABC中，已知||＝||＝2，且·＝2，则这个三角形的形状是________．
解析：∵·＝||||cosA＝4cosA＝2，
∴cosA＝.
∵0y＝________.

解析：连接AE，∵Rt△DBE中，∠DEB＝60°，
∴BE＝DE.又∵BC＝DE，∴BE＝BC.
∵△BAC为等腰直角三角形，
∴AE⊥BC　又∵∠DBE＝90°，
∴AE∥BD，且BD＝AE，
∴＝＝×(＋)＝(＋)，则＝＋＝＋(＋)＝＋.
答案：　
16．在△ABC中，＝(1，2)，＝(－x，2x)(x>0)，若△ABC的周长为6，则x的值为________．
解析：∵＝－＝(－x－1，2x－2)，
∴||＝，||＝＝x，
||＝
＝，
∴||＋||＋||
＝＋x＋＝6，
∴x＝.
答案：
三、解答题(共70分)
17．(本小题10分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点，满足2＋＝0，
(1)用，表示；
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
解：(1)2＋＝0，
2(－)＋(－)＝0.
2－2＋－＝0.
∴＝2－.

(2)如图，＝＋
＝－＋
＝(2－)．
故＝.
故四边形OCAD为梯形．
18．(本小题12分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<α<β<π.
(1)求|a|的值；
(2)求证：a＋b与a－b互相垂直．
解：(1)∵a＝(cosα，sinα)，
∴|a|＝＝1.
(2)证明：∵(a＋b)·a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，
∴a＋b与a－b互相垂直．
19．(本小题12分)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b，
(1)若c∥d，求k的值，并判断c，d是否同向；
(2)若|a|＝|b|，a与b夹角为60°，当k为何值时，c⊥d.
解：(1)c∥d，故c＝λd，
即ka＋b＝λ(a－b)．
又a，b不共线，
∴得
即c＝－d.
故c与d反向．
(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)
＝ka2－ka·b＋a·b－b2
＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos60°.
又c⊥d，
故(k－1)a2＋a2＝0，
即(k－1)＋＝0，
解得k＝1.
20．(本小题12分)向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，求|a|2＋|b|2＋
|c|2的值．
解：由(a－b)⊥c，知(a－b)·c＝0.
又c＝－(a＋b)，
∴(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝0.
故|b|＝|a|＝1.
又c2＝[－(a＋b)]2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
21．(本小题12分)设＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，在上是否存在点M，使⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在点M(x，y)满足条件，
则＝λ＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)，
∴＝(2－6λ，5－3λ)，
＝(3－6λ，1－3λ)．
∵⊥，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，
解得λ＝，或λ＝.
∴＝(2，1)或(，)．
故存在点M(2，1)，或点M(，)满足题意．
22．(本小题12分)

如图，已知＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，设Z是直线OP上的一动点．
(1)求使·取最小值时的；
(2)对(1)中求出的点Z，求cos∠AZB的值．
解：(1)∵Z是直线OP上的一点，∴∥.
设实数t，使＝t，
∴＝t(2，1)＝(2t，t)，
则＝－＝(1，7)－(2t，t)
＝(1－2t，7－t)，
＝－＝(5，1)－(2t，t)
＝(5－2t，1－t)．
∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
当t＝2时，·有最小值－8.
此时＝(2t，t)＝(4，2)．
(2)当t＝2时，＝(1－2t，7－t)＝(－3，5)，
||＝，＝(5－2t，1－t)＝(1，－1)，
||＝.
故cos∠AZB＝＝
＝－＝－.