勾股定理教学设计.docx

从特殊到一般的探究中寻觅数学大师的足迹
——人教版八年级(下)《17.1 勾股定理(1)》教学设计

重庆鼓楼学校 杨福生 电话：[phone]

一、内容和内容解析
1.内容
勾股定理的探究、证明及简单应用
2.内容解析
勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.由此，在直角三角形中已知任意两边长，就可以求出第三边长.勾股定理常常用来求解线段长或距离问题.
教材中，勾股定理的探究从等腰直角三角形出发，到网格中的三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一搬的探究过程和研究方法.教材证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，并以此引导学生发现证明勾股定理的思路.
我国对勾股定理的研究和其他国家相比是比较早的.要通过我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感；用通过对勾股定理的探索和发现过程，培养学生学好数学的自信心.
基于以上分析，本节课的教学重点是：探索并证明勾股定理.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感.
(2)能用勾股定理，解决一些简单问题.
2.目标解析
目标(1)要求学生先观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，通过归纳和合理的数学推理发现勾股定理的结论；理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理；了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就.
目标(2)要求学生能运用勾股定理进行简单的计算，重点是已知直角三角形的两条边，求第三条边的长度.
三、教学问题诊断分析
勾股定理是关于直角三角形三边关系的一个特殊结论.在正方形网格中容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系.要从等腰直角三角形过度到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大的困难.学生第一次尝试构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法，求以斜边为边的正方形的面积.因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考去网格背景下正方形的面积关系，再把这种关系表示成边长之间的关系，这有利于自然合理地发现和证明勾股定理.
基于以上分析，本节课的教学难点是：勾股定理的探究和证明.
四、教学过程设计
1.创设问题情景
引言
前面我们共同学习了三角形之后，学习了一种特殊的三角形,即等腰三角形.三角形的内角和是180°，而等腰三角形除此之外，还有底角相等这一特殊的性质；三角形的任意两边之和大于第三边，而等腰三角形除此之外，还有两条边相等这一特殊性.因此特殊的图形孕育了特殊的性质.直角三角形也是一种特殊的三角形，它又孕育了哪些特殊的性质呢？直角形的边是否具有某种特殊的性质？
师生活动：教师讲授一般三角形与等腰三角形之间的联系，学生体会特殊三角形的特殊性质，并回答直角三角形角的特殊性质，疑惑直角三角形边的特殊性质.
设计意图：本节课是本章的起始课，通过知识之间的前后联系，找准新知识的生长点和学生思维发展的最近发展区，设置悬念，引入课题.
2.探究勾股定理
问题1 普通的现象往往蕴含深刻的道理.相传2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家作客时，细心观察朋友家的地板，经过认真思考，最终发现了直角三角形三条边的特
殊关系.你能在这张地板(如图1)中发现了哪些几何图形？以等腰直角三角形的三条边为边的正方形A、B、C的面积有怎样的关系？
师生活动：学生独立观察图形，分析、思考其中隐含的
规律.通过直接数等腰直角三角形 的个数，或者用割补
的方法得到结论：S正方形A+S正方形B=S正方形C.
追问：如果这个等腰直角三角形的三边长分别是a、a、
c， a、c之间有怎样的关系？师生活动：教师引导学生
直接由正方形的面积等于边长的平方，得出：等腰直角
三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 图1
设计意图：从特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系.
问题2 如果中间不是等腰直角三角形，而是一个一般的直角三角形(如图2)，正方形A、B、C的面积关系是怎样的？直角三角形的三边a、b、c的关系又是怎样的？
师生活动：学生独立思考后小组讨论，难点是求正方形C的面积.可由师生共同研究，得出通过割或补得到正方形C的面积.教师再引导学生由正方形的面积关系得到没有网格的情况下直角三角形的三边a、b、c的关系，进而得到命题：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

图2 图3 图4
设计意图：通过在网格中计算正方形面积，得出三个正方形的面积关系，为在无网格背景下研究直角三角形三边关系打下基础，提供方法.
问题3 怎样证明“如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2”这一命题呢？

师生活动：引导学生分别从图3和图4中提取出图5和图6，通过计算这两个图的面积得出以上猜想的证明，并介绍这两个图形的人文背景.

图5 图6
设计意图：从网格验证到脱离网格，通过计算推导出一般结论.通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，增强民族自豪感.通过了解勾股定理证明方法的多样性，增强学生学习数学的自信心.
3.理解定理，固化新知
问题4在Rt△ABC中， AB、AC和BC有怎样的关系？
师生活动：学生独立思考后与同学讨论，教师总结成功运用勾股定理的关键点，并结合图形，引导学生用推理的形式表达勾股定理.
设计意图：让学生掌握正确应用勾股定理应把握的关键点是找准直角，确定斜边；掌握应用勾股定理时的一般书写模式.
4.初步应用，巩固新知
练习1 求下列直角三角形中未知边的长x.

设计意图：在直角三角形中，让学生掌握应用勾股定理解决“已知两边，求第三边”这类问题;了解“勾三股四弦五”的含义，知道我国对勾股定理的研究是最早的，比西方国家早1000多年.
练习2 求下图中字母所代表的正方形的面积.

设计意图：让学生掌握以直角三角形三条边为边长所作的三个正方形的面积之间的关系，让学生能将正方形的面积关系和直角三角形三边之间的关系进行联系.

5.课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
(1)勾股定理的内容是什么？它有什么作用？
(2)在探索勾股定理的过程中，我们经历了怎样的过程？
设计意图：让学生从不同的角度谈本节课的学习的内容、学习过程，感悟数学文化.
五、目标检测设计
1.判断下列说法是否正确
(1) 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2.
(2) 在Rt△ABC中，如果∠A=90°，那么AB2=AC2+BC2.
(3) 在Rt△ABC中，如果∠C=90°，那么AB2=AC2+BC2.
设计意图：考察学生能否清晰地辨别勾股定理的条件.
2.若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，求x.
设计意图：考察学生运用勾股定理的能力，以及分类讨论的数学思想.
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