《等腰三角形》中考试题分类汇编讲解.doc

17、等腰三角形

要点一、等腰三角形的性质及判定
一、选择题
1．（2009·宁波中考）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解析】选B .因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°；
2、（2009·威海中考）如图，，若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【解析】选B.由AB=AC, ,得∠ABC=∠ACB=70°,由BD=BC得∠BDC=∠ACB=70°,∴∠DBC=, =∠ABC-∠DBC =70°-=.
3.（2009·聊城中考）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE＝AF．如果∠AED＝62º，那么∠DBF＝（ ）

A．62º B．38º C．28º D．26º
【解析】选C.在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º，
又∠AED＝62º ,∴∠EAC=62º -
45 º =17 º ,又CE＝AF，∴△ABF≌△CAE,
∴∠ABF=17 º , ∴∠DBF＝45 º-17 º=28º.
42009·黔东南中考)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）

A、30o B、40o C、45o D、36o
【解析】选D.∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD,
∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=xo,则∠ABD=xo, ∠C=∠ABC=∠BDC=2xo,
在△ABC中，x+2x+2x=180,∴x=36,故∠A=36o
5、（2009· 武汉中考）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（ ）
A．70° B．110 C．140° D．150°
B
C
O
A
D

【解析】选D ∠BAO+∠BCO＝∠ABO+∠CBO＝∠ABC＝70°，
所以∠BOA+∠BOC＝360°－140°＝220°，所以∠AOC＝140°，
所以∠AOC＋∠ADC＝140°＋70°＝210°，
所以∠DAO+∠DCO＝360°－210°＝150°；
6．（2009·烟台中考）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
A
D
C
P
B

60°

【解析】选B 因为∠APD＝60°，所以∠PDC=60°＋∠PAD，
又因为∠BPA＝60°＋∠PAD，所以∠PDC=∠BPA，
又因为∠B＝∠C，所以△ABP∽△PCD，
所以,所以CD＝.
7、（2008·乌鲁木齐中考）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
答案：选C
二、填空题
8. (2009·达州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，与∠BAC相邻的外角为80°，则∠B＝____________.

【解析】由AB＝AC得∠B=∠C=∠DAC=×80°=40°.
答案：40°.
9.（2009·云南中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E ，M为BE的中点，连结DM. 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 .（写出一个即可）

【解析】由∠ACB=90°，DE∥AC，得∠EDC=90°，又M为BE的中点，得MB=MD=ME,∴△MBD
和△MDE是等腰三角形，∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，∴∠EDA=∠EAD=∠DAC,
∴△EAD是等腰三角形
答案：△MBD或△MDE或△EAD
10.（2008·菏泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE； ②PQ∥AE； ③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．

【解析】∵正三角形ABC和正三角形CDE
∴AC=BC,∠ACD=∠BCE=120º,CD=CE
∴ΔACD≌ΔBCE , ∴AD=BE,∠CAD=∠CBE
又∠ACP=∠BCQ ∴ΔACP≌ΔACQ ∴AP=BQ,CP=CQ
又∠PCQ=60º ∴ΔCPQ是等边三角形 ∴∠PQC=∠QCE=60º ∴PQ∥AE,∵∠AOB=∠OEA＋∠OAE=
∠OEA＋∠CBE=∠ACB ∴∠AOB=60º,∵∠DPC>∠QPC
∴∠DPC>∠QCP ∴DP≠DC 即DP≠DE.
故恒成立的有①②③⑤
答案：①②③⑤
11、（2007·杭州中考）一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个角应该为 。
答案：
12、（2007·江西中考）如图，在中，点是上一点，，，则 度．

答案：
三、解答题
13、2009·绍兴中考) 如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．
（1）求的度数；
（2）求证：．

答案：（1）ΔABD是等腰直角三角形，，
所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°,
所以∠CBD＝70°+45°＝115°．
(2)因为AB＝AC,,AD＝AE,
所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE．
14.（2009·河南中考）如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.

【解析】OE⊥AB．　　　　　　　　　　　
证明：在△BAC和△ABD中，
AC=BD，
∠BAC=∠ABD，
AB=BA．
∴△BAC≌△ABD．　　　∴∠OBA=∠OAB,，∴OA=OB．　　　　　　　　　　
又∵AE=BE, ∴OE⊥AB．
15、(2009·泸州中考)如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD， AD与BE相交于点F．

(1)求证：≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数．
【解析】（1）证明：∵为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA
在△ABE和△CAD中，
AB=CA，∠BAE=∠C,AE=CD,
∴△ABE≌△CAD
(2)解：∵∠BFD=∠ABE∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，ADBC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。
（1）求△ABC的面积S；
（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。

【解析】（1）在正中，，
．
（2）的位置关系：．
在中，，
，
．
17、（2008·龙岩中考）如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明.我找的等腰三角形是： .

【解析】我所找的等腰三角形是：△ABC（或△BDC或△DAB）
证明：在△ABC中，
∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°－（72°＋36°）=72°.
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形. 我所找的等腰三角形是：△ABC（或△BDC或△DAB）
要点二、线段的垂直平分线的性质
一、选择题
1、（2009·怀化中考）如图，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．

【解析】选B．由，得∠AEB=80°，由是的垂直平分线得EA=EC，所以∠EAC=∠ECA=∠AEB=×80°=40°.
2、（2009·钦州中考）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）

A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【解析】选 A。线段垂直平分线判定定理：“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知应选A。
3、（2009·云南中考）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
A
D
E
B C

【解析】选A.∵△ABC周长等于21，又∵BC等于5，且AB=AC，∴AC=8，
∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴AE+EC=BE+EC=AC=8,
∴△BEC的周长=BE+EC+BC=8+5=13；
二、填空题
4、（2009·泉州中考）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E，若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 ；

【解析】∵△ABC周长与四边形AEDC周长差等于12，∵DE是线段BC的垂直平分线∴△EDB≌△EDC，
∴BD+BE-DE=12，又∵BD+BE+DE=24，∴DE=6.
答案：6.
5、（2009·黄冈中考）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_____________度．
【解析】如图（1）因为DE是AB的垂直平分线，又因为∠AED＝50°，所以∠A=40°，因为AB=AC，所以∠B=70°；
如图（2）因为DE是AB的垂直平分线，∠E＝50°，所以∠EAD=40°，因为AB=AC，所以∠B=20°；

答案：70或20；
6、（2008·孝感中考）如图，AB=AC，，AB的垂直平分线交BC于点D，那么 ；

答案：60°
7、（2008·徐州中考）如图，Rt△ABC中，，cm，cm．将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长 = cm．

答案：7
8、（2007·陕西中考）如图，垂直平分线段于点的
平分线交于点，连结，则的度数是 ．

答案：
三、解答题
9、（2009·铁岭中考）如图所示，在中，．

（1）尺规作图：作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若分别交及的延长线于点，连结．
求证：．
【解析】（1）直线即为所求．

（2）证明：在中，

又∵为线段的垂直平分线，∴，
∴，
∴．
又∵，∴．
在中，，
∴，∴．
10、（2008·镇江中考）作图证明如图，在中，作的平分线，交于，作线段的垂直平分线，分别交于，交于，垂足为，连结．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）

【解析】（1）画角平分线，线段的垂直平分线．
（2）
11、（2007·成都中考）已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）与的大小关系如何？试证明你的结论．
【解析】（1）证明：，，
是等腰直角三角形．
．
在和中，
，，
且，
．
又，，
．
．
（2）证明：在和中
平分，
．
又，
．
．
又由（1），知，
．
（3）．
证明：连结．

是等腰直角三角形，
．
又是边的中点，
垂直平分．
．
在中，
是斜边，是直角边，
．
．

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