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函数专题复习（四）
第二十七课时
函数的应用举例（1）
目的：熟悉借助“几何图形”和“计算利润”两种常见类型的应用问题。
过程：
一、 应用问题的解答绝大部分是通过建立模型（常常是函数模型）并借助图
象和性质来进行研究的，研究结果再应用于实践。
1． 数学模型来源于实践，是实际问题的抽象和概括，因此首先必须对实际问题要有深刻的理解。
2． 其次，应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础。
B
3． 最后，当然需要有较强的运算能力。
二、 例一、有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形
状，下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上。写出这个梯形周长y
与腰长x间的函数式，并写出它的定义域。
A 2R B
D C
E
x
x

分析：关键是用半径R与腰长x表示上底
由对称性：CD=AB-2AE 因此只要求AE
解：设腰长AD=BC=x 作DE^AB 垂足为E 连结BD
则ÐADB=90° 由此：Rt△ADE∽Rt△ABD
∴ ∴
∴周长
∵ABCD是圆内接梯形 ∴

例二 如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x
1． 写出AP+2PM关于x的函数关系式 2．求此函数的最值

P M
A D O B

解：1．过P作PD^AB于D，连PB 设AD=a则

∴

2．
D E
当时 当时
例三 距离船只A的正北
方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿
C
北偏西60°角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度
A
向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相 距最近？

解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20 BC=100-15t
过D作DE^BC于E DE=BDsin60°=10t BE=BDcos60°=10t
∴EC=BC+BE=100-5t
CD==
∴t=时CD最小，最小值为200，即两船行驶小时相距最近。
例四、某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大，并求出最大利润。

解：设商品售价定为x元时利润为y元，则
y=(x-8)[60-(x-10)10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160 (x>10)
当且仅当x=12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元。

第二十八课时
函数的应用举例（2）
目的： 要求熟悉属于“增长率”、“利息”一类应用问题，并能掌握其解法。
过程：
一、 新授：
例一、 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或(a,b,c为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。

解：设二次函数为：
由已知得：
∴
当 x = 4时，
又对于函数
由已知得： ∴
当 x = 4时，
由四月份的实际产量为1.37万件,

∴选用函数 作模拟函数较好。
例二、 已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为
正常数。
1． 当时，该商品的价格上涨多少就能使销售的总金额最大？
2．如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围。

解：1．设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。
由题设：当价格上涨x%时，销售总额为
即
取得：
当 x = 50时，
即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。
2．∵二次函数
在 上递增，在上递减
∴适当地涨价，即 x > 0 , 即
就是 0 < m <1 , 能使销售总金额增加。
例三、 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和
为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式。如果
存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？
“复利”：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息。

分析：1期后 　2期后　　　……
　 ∴ x 期后，本利和为：
将 a = 1000元，r = 2.25%，x = 5 代入上式：

由计算器算得：y = 1117.68（元）

第二十九课时
函数的应用举例（3）
目的： 结合物理等学科，利用构建数学模型，解决问题。
过程：
例一、 设海拔 x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是 ，其中 c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为Pa，1000 m高空的大气压为Pa，求：600 m高空的大气压强。（结果保留3个有效数字）

解：将 x = 0 , y =；x = 1000 , y = 代入 得：

将 (1) 代入 (2) 得：
由计算器得： ∴
将 x = 600 代入, 得：
由计算器得：
例二、一根均匀的轻质弹簧，已知在 600 N的拉力范围内，其长度与所受拉力
成一次函数关系，现测得当它在 100 N的拉力作用下，长度为 0.55 m ,
在 300 N拉力作用下长度为 0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其
自然长度是多少？

解：设拉力是 x N (0≤x≤600) 时，弹簧的长度为 y m
设：y = k x + b 由题设：
∴所求函数关系是：y = 0.0005 x + 0.50
∴当 x = 0时，y = 0.50 , 即不受拉力作用时，弹簧自然长度为 0.50 m。
例三、一物体加热到 T0°C 时，移入室内，室温保持常温 a°C，这物体逐渐
冷却，经过 t 分后，物体的温度是 T°C，那么 T 与 t 之间的关系有
下列形式（这里 e =2.71828，k为常数），现有加热
到 100°C的物体，移入常温为 20°C的室内，经过 20分后，物体的
温度是 80°C，求：
1．经过 20分后，物体的温度是多少度?（精确到 1°C ）
2．经过多少分（精确到 1分），物体的温度是 30°C？

解：将 T0 = 100 , T = 80 , a = 20 , t = 10代入关系式
得： 化简得：
　 两边取自然对数，并计算得：
∴ k = 0.0288
从而可得： (*)
1． 把 t = 20代入(*)
由计算器得：T = 64.97 °C
即经过 20分后，物体的温度约为65度。
2． 把 T = 30代入(*) 则
两边取自然对数，并计算得：
即物体冷却到30°C约经过72分钟。

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