1、云外2011级高三数学培优材料5
导数典例剖析
知识梳理
1导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
2导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线 在点（）处的切线方程为
3导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
4可导: 如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导
5可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点
2、x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件
6求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率 （3）取极限，得导数＝
7 常见函数的导数公式：；；；；；
8和差的导数： ．
9积的导数： ,
10商的导数：
典例剖析
题型一 概念问题
例1 若f′（x0）=2,求
分析:根据导数的定义
解：f′（x0）= （这时Δx=－k） ∴=［－·］
=－·=－f′（x0）=－1
点评: 注意f′（x0）= 中Δx的形式的变化,在上述变化中可以看到Δx=－k,
3、k→0－k→0,
∴f′（x0）= ,还可以写成f′（x0）= 或 f′（x0）=［f（x0+）－f（x0）］等
题型二 切线问题
例2 求曲线的过点A（2，-2）的切线方程。
错解：显然点A在曲线上，过点A（2，-2）的切线方程为，即
正解：设切点坐标为，则在点P处的切线方程为过点A（2，-2），且，整理得即或，当时，切点为，此时切线方程为，当时，切点为，此时切线方程为过点A（2，-2）的切线方程为或。
剖析 本题求的是经过点A的切线，而不是点A处的切线。因而不排除有其他切线经过A。
通过以上几道例题，我们可以看到，在解决有关导数的问题时，要理请概念，弄清题意，以免掉入“
4、陷阱”之中。
题型三 单调性问题
例3 已知在R上单调递增，则k的取值范围是（ ）
（A）k>1 （B） （C） （D）
错解：,依题意,对一切,,选A.
正解：依题意,对一切,,应选B.
错解原因：我们知道,对一切,是在R上单调递增的充分不必要条件.该题中, 在R上单调递增的充要条件是,对一切,.值得提醒的是,并不是对一切函数,在R上单调递增的充要条件都是,对一切,, 所对应的情形应特别加以考虑.
题型四 极值问题
例4 已知函数在x=1处有极值为10,则等于多少?
错解： ,依题设,即解得或.当时,当时或.
正解： 当时，；当时。
此时在x=
5、1处没有极值。如图，；应舍去。。
剖析 应注意，是在处有极值的必要不充分条件，
事实上，若是方程的偶次重根，则不是的极值点。
基础训练
1．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
2．函数，已知在时取得极值，则= （ D ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
3．函数在闭区间［-3，0］上的
6、最大值、最小值分别是（ ）
（A）1，-1 （B）1，-17 （C）3，-17 （D）9，-19
x
y
O
解：由得，令得，令得或，令可得，考虑到，所以的增区间是，减区间为，又，，，所以最大值、最小值分别为3，－17．故选C
4．设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则导函数y=f ¢(x)可能为（ ）
x
y
O
（A）
x
y
O
（B）
x
y
O
x
y
O
（D）
（C）
解：由图象知，当时，为增，所以这时导数为正，可排除选项A、C；又当时，存在减区间，所
7、以导数存在负值，于是可排除选项B，选D
5．若函数f（x）=ax3－x2+x－5在R上单调递增，则a的范围是a≥
6．与函数的图象相切，切线斜率为1的切点是
P
4
（C）
7．如右下图,函数的图象在点P处的切线方程是，则的值为
解：从图中可见，P点是直线和曲线的公共点，所以由P点的纵坐标，可得；又P点处切线的斜率为，即，故
8．(10重庆理)已知函数其中实数。
（I） 若a=-2，求曲线在点处的切线方程；
（II） 若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。
解：（Ⅰ）.
当时，，而，
8、因此曲线在点处的切线方程为即.
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，
即，解得. 此时，其定义域为，且
，由得.当
或时，；当且时，.
由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间上是减函数.
9．设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
9、解：（Ⅰ）因 又在x=0处取得极限值，故从而
由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知
该切线斜率为2，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令
（1）当
（2）当
K=1时，g（x）在R上为增函数
（3）方程有两个不相等实根
当函数
当时，故上为减函数
时，故上为增函数
5
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