【2014备考】2013高考数学(理)真题(含部分模拟新题)分类汇编—H单元-解析几何.doc

H单元　解析几何

H1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

20．H1，H5，H8[2013·新课标全国卷Ⅱ] 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
20．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
＋＝1，＋＝1.
＝－1.
由此可得＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，
所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为＋＝1.
(2)由
解得或
因此|AB|＝.
由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n－0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)
A. B. C．1 D．2

9．B　[解析] 直线y＝a(x－3)过定点(3，0) .画出可行域如图，易得A(1，－2a)，B(3，0)，C(1，2). 作出直线y＝－2x，平移易知直线过A点时直线在y轴上的截距最小，即2＋(－2a)＝1a＝ .答案为B.

H2　两直线的位置关系与点到直线的距离　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

8．H2[2013·湖南卷] 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图1－1所示)，若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　)

图1－1
A．2 B．1
C. D.
8．D　[解析] 不妨设AP＝m(0≤m≤4)，建立坐标系，设AB为x轴，AC为y轴，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，Q(xQ，yQ)，R(0，yR)，P(m，0)，可知△ABC的重心为G，根据反射性质，可知P关于y轴的对称点P1(－m，0)在直线QR上，P关于x＋y＝4的对称点P2(4，4－m)在直线RQ上，则QR的方程为＝，将G代入可得3m2－4m＝0，即m＝或m＝0(舍)，选D.
12．H2，E1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)
A．(0，1) B.
C. D.
12．B　[解析] 方法一：易得△ABC面积为1，利用极限位置和特值法．当a＝0时，易得b＝1－；当a＝时，易得b＝；当a＝1时，易得b＝－1>.故选B.
方法二：(直接法) y＝ ，y＝ax＋b与x 轴交于，结合图形与a>0 ，××＝(a＋b)2＝a(a＋1)>0a＝.
∵a>0，∴>0b<，当a＝0时，极限位置易得b＝1－，故答案为B.
7．H2，H4[2013·重庆卷] 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5 －4 B. －1
C．6－2 D.
7．A　[解析] 如图，作圆C1关于x轴的对称圆C′1：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|.由图可知当C2，N，P，M′，C′1在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|取得最小值，即为|C′1C2|－1－3＝5 －4，故选A.

图1－3

H3　圆的方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

20．H3，H10，H8，H5[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
20．解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以
|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M, N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，
当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2 .
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，
则＝，可求得Q(－4，0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，
并整理得7x2＋8x－8＝0.解得x1，2＝.
所以|AB|＝|x2－x1|＝.
当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.

综上，|AB|＝2 或|AB|＝.
21．F2、F3、H3、H5，H8[2013·重庆卷] 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．

图1－9
21．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.
由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Qx0，0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8
＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．
设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取得最小值．又因x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取得最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以·′＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，
即(x1－x0)2－y＝0.由椭圆方程及x1＝2x0得x－8＝0，
解得x1＝±，x0＝＝±，从而|QP|2＝8－x＝.
故这样的圆有两个，其标准方程分别为
＋y2＝，＋y2＝.

H4　直线与圆、圆与圆的位置关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

9．H4[2013·江西卷] 过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)
A. B．－
C．± D．－
9．B　[解析] AB：y＝k(x－)，k<0，圆心到直线的距离d＝<1，得－1线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
9．A　[解析] 方法一：设点P(3，1)，圆心为C，设过点P的圆C的切线方程为y－1＝k，由题意得＝1，解之得k＝0或，即切线方程为y＝1或4x－3y－9＝0.联立 得一切点为，又∵kPC＝＝，∴kAB＝－＝－2，即弦AB所在直线方程为y－1＝－2，整理得2x＋y－3＝0.
方法二：设点P(3，1)，圆心为C，以PC为直径的圆的方程为＋y＝0，整理得x2－4x＋y2－y＋3＝0，联立①，②两式相减得2x＋y－3＝0.

11．H7，H4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
11．C　[解析] 抛物线焦点为F，0 ，由抛物线的定义，设M5－，，设N点坐标为(0，2)．
因为圆过点N(0，2)，故NF⊥NM×＝－1，①
设＝t，则①式可化为t2－4 t＋8＝0t＝2 p2－10p＋16＝0p＝2或p＝8 .

图1－5
21．H4，H5[2013·浙江卷] 如图1－5所示，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取得最大值时直线l1的方程．
21．解：(1)由题意得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2 ＝2 .
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由
消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0.
故x0＝－，
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝·|AB|·|PD|＝，
所以S＝≤＝，当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
7．H2，H4[2013·重庆卷] 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5 －4 B. －1
C．6－2 D.
7．A　[解析] 如图，作圆C1关于x轴的对称圆C′1：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|.由图可知当C2，N，P，M′，C′1在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|取得最小值，即为|C′1C2|－1－3＝5 －4，故选A.

图1－3

H5　椭圆及其几何性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

20．H3，H10，H8，H5[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
20．解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以
|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M, N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，
当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2 .
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，
则＝，可求得Q(－4，0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，
并整理得7x2＋8x－8＝0.解得x1，2＝.
所以|AB|＝|x2－x1|＝.
当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝2 或|AB|＝.
10．H5[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1[来源:学,科,网Z,X,X,K]
C.＋＝1 D.＋＝1
10．D　[解析] 由题意知kAB＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝0.
由AB的中点是(1，－1)知
∴＝＝，联立a2－b2＝9，解得a2＝18，b2＝9，故椭圆E的方程为＋＝1.
18．H5、H8、H9[2013·安徽卷] 设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．
(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．
18．解：(1)因为焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝.由题设知x0≠c，
则直线F1P的斜率kF1P＝，
直线F2P的斜率kF2P＝，
故直线F2P的方程为y＝(x－c)．
x＝0时，y＝，即点Q的坐标为0，.
因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝.
由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.
化简得y＝x－(2a2－1)．①
将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．
14．H5，H8[2013·福建卷] 椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________．

14.－1　[解析] 如图，△MF1F2中，∵∠MF1F2＝60°，∴∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝c，|MF2|＝c，∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋c，得e＝＝＝－1.
12．H5[2013·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为＋＝1(a>0，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2＝d1，则椭圆C的离心率为________．
12.　[解析] 由题意知F(c，0)，l：x＝，不妨设B(0，b)，则直线BF：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.
于是d1＝＝，
d2＝－c＝＝.
由d2＝d1，得＝6，
化简得6c4＋a2c2－a4＝0，
即6e4＋e2－1＝0，
解得e2＝或e2＝－(舍去)，
故e＝，故椭圆C的离心率为.
20.

图1－7
H5，H8[2013·江西卷] 如图1－7所示，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
解：(1)由P在椭圆上得＋＝1，①
依题设知a＝2c，则b2＝3c2，②
②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.[来源:学&科&网]
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)方法一：由题意可设AB的斜率为k，则
直线AB的方程为y＝k(x－1)，③
代入椭圆方程3x2＋4y2＝12并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
x1＋x2＝，x1x2＝，④
在方程③中令x＝4得，M的坐标为(4，3k)．
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－，
注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有＝＝k，所以k1＋k2＝＋＝＋－
＝2k－·，⑤
④代入⑤得k1＋k2＝2k－·＝2k－1.
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，故存在常数λ＝2符合题意．
方法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，则直线FB的方程为：y＝(x－1)．
令x＝4，求得M.
从而直线PM的斜率为k3＝，
联立得A，
则直线PA的斜率为k1＝，直线PB的斜率为k2＝，
所以k1＋k2＝＋＝＝2k3，
故存在常数λ＝2符合题意．
19．H5，H10[2013·北京卷] 已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
19．解：(1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2，0)．
因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．
所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝±.
所以菱形OABC的面积是
|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由消y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则
＝－，＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为－.
因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
15．H5[2013·辽宁卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，联结AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝__．
15.　[解析] 设椭圆的右焦点为Q，在三角形ABF中利用余弦定理可以得到|BF|＝8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|＝8，则△FAQ为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a＝14，2c＝10，得e＝.
15．H5[2013·全国卷] 记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．
15.　[解析] 已知不等式组表示的平面区域如图1－2中的三角形ABC及其内部，直线y＝a(x＋1)是过点(－1，0)斜率为a的直线，该直线与区域D有公共点时，a的最小值为MA的斜率，最大值为MB的斜率，其中点A(1，1)，B(0，4)，故MA的斜率等于＝，MB的斜率等于＝4，故实数a的取值范围是.

8．H5、H8[2013·全国卷] 椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
8．B　[解析] 椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则kPA1kPA2＝·＝，而＋＝1，即y＝(4－x)，所以kPA1kPA2＝－，所以kPA1＝－∈.
22．H5[2013·山东卷] 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，联结PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．
22．解：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.由题意知 ＝1，即a＝2b2.
又e＝＝，
所以a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)方法一：设P(x0，y0)(y0≠0)．
又F1(－，0)，F2(，0)，
所以直线PF1，PF2的方程分别为
lPF1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
lPF2：y0x－(x0－)y－y0＝0.
由题意知＝.
由于点P在椭圆上，所以＋y＝1，
所以＝ .
因为－为y＝k1(x＋)，y＝k2(x－)．
由题意知＝，
所以＝.
因为＋y＝1，
并且k1＝，k2＝，
所以＝
＝
＝，
即＝.
因为－
所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，
故k＝－.
由(2)知＋＝＋＝，
所以＋＝＝·＝－8，
因此＋为定值，这个定值为－8.
20．H5，H8[2013·四川卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．
20．解：(1)由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝＋＝2 .
所以a＝，
又由已知，c＝1，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.
设点Q的坐标为(x，y)．
①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为.
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由＝＋，得
＝＋，
即＝＋＝.①
将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，得k2>.
由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，
代入①中并化简，得
x2＝.③
因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2>，可知0b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，求k的值．
18．解：(1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆的方程有＋＝1，解得y＝±.于是＝，解得b＝.
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)．
由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0，
可得x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.
20．H1，H5，H8[2013·新课标全国卷Ⅱ] 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
20．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
＋＝1，＋＝1.
＝－1.
由此可得＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，
所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为＋＝1.
(2)由
解得或
因此|AB|＝.
由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n－点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取得最大值时直线l1的方程．
21．解：(1)由题意得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2 ＝2 .
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由
消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0.
故x0＝－，
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝·|AB|·|PD|＝，
所以S＝≤＝，当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.

图1－2
9．H5，H6[2013·浙江卷] 如图1－2，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B. C. D.
9．D　[解析] 设双曲线实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|＝m，|AF2|＝n，由题意知c＝，2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝4，(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8，2a＝m－n＝2 ，a＝，则双曲线的离心率e＝＝＝，选择D.
21．F2、F3、H3、H5，H8[2013·重庆卷] 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．

图1－9
21．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.
由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8
＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．
设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取得最小值．又因x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取得最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以·′＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，
即(x1－x0)2－y＝0由椭圆方程及x1＝2x0得x－8＝0，
解得x1＝±，x0＝＝±，从而|QP|2＝8－x＝.
故这样的圆有两个，其标准方程分别为
＋y2＝，＋y2＝.

H6　双曲线及其几何性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4．H6[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
4．C　[解析] 离心率＝，所以＝＝＝.由双曲线方程知焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±x.
6．H6[2013·北京卷] 若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
6．B　[解析] 由离心率为，可知c＝a，∴c2＝3a2，∴b2＝2a2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
3．H6[2013·福建卷] 双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A. B. C. D.
3．C　[解析] 取一顶点(2，0)，一条渐近线x＋2y＝0，d＝＝ ，故选C.
7．H6[2013·广东卷] 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
7．B　[解析] 设双曲线方程为－＝1，由题知：c＝3，e＝＝，解得a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，故C的方程是－＝1.
5．H6[2013·湖北卷] 已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
5．D　[解析] e＝＝，C1与C2的＝tan2 θ，故e1＝e2，选D.
14．H6[2013·湖南卷] 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
14.　[解析] 若最小角为∠F1PF2，由对称性设|PF1|>|PF2|，由|PF1|＋|PF2|＝6a，|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，此时|PF2|<|F1F2|，故∠F1PF2不可能为最小角．
由双曲线对称性，不妨记最小角为∠PF1F2＝30°，则|PF1|>|PF2|，由|PF1|＋|PF2|＝6a，|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由余弦定理可得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos 30°，即3a2－2 ac＋c2＝0，解得c＝a，即e＝＝.
3．H6[2013·江苏卷] 双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
3．y＝±x　[解析] 令－＝0，得渐近线方程为y＝±x.
14．H6[2013·江西卷] 抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
14．6　[解析] 由题知三角形边长为p，得点B，代入双曲线方程得p＝6.
21．H6、H8、D3[2013·全国卷] 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
21．解：(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.
将y＝2代入上式，求得x＝±.
由题设知，2 ＝，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝2 .
(2)证明：由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|＜2 ，代入①并化简得
(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1≤－1，x2≥1，
x1＋x2＝，x1x2＝.
于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝＝＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－.
故＝－，解得k2＝，从而x1x2＝－.
由于|AF2|＝＝＝1－3x1，
|BF2|＝＝＝3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，
|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，
所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
11．H6、H7[2013·山东卷] 抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)
A. B. C. D.
11．D　[解析] 抛物线C1：y＝x2的焦点坐标为，双曲线－y2＝1的右焦点坐标为，连线的方程为y＝－，联立 得2x2＋p2x－2p2＝0.设点M的横坐标为a，则在点M处切线的斜率为y′|x＝a＝′＝.又∵双曲线－y2＝1的渐近线方程为±y＝0，其与切线平行，∴＝，即a＝p，代入2x2＋p2x－2p2＝0得，p＝或p＝0(舍去)．

11．H6[2013·陕西卷] 双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．
11．9　[解析] 由a2＝16，b2＝m，则c2＝16＋m，则e＝＝，则m＝9.
6．H6，H7[2013·四川卷] 抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A. 　B. 　C．1 　D.
6．B　[解析] 抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x2－＝1的渐近线为x±y＝0，故点F到x±y＝0的距离d＝＝.
5．H6，H7[2013·天津卷] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)
A．1 B. C．2 D．3
5．C　[解析] 双曲线的离心率e＝＝＝2，解得＝，联立得y＝.又因为S△OAB＝×＝，将＝代入解得p＝2.

图1－2
9．H