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2013年优秀中考题
1．（2013浙江湖州，16，4分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°,BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ▲ ．

第16题
【答案】2
18. 如图，点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，
O
y
B
A
C
以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ．

x

（第18题）

（备注：此两题相类似）
17. （2013江苏无锡，18，2分）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，－a）是一平行四边形的四个
顶点，则CD长的最小值为 .
【答案】
（2013浙江杭州，16，4分）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm。动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出可取的一切值________单位：秒）

【答案】t=2,t=8,3≤t≤7
5.(2013四川成都，25，4分)如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，＝，点E在上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与点B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′＝b，EC＝c，EA′＝p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n＝3时，p＝b＋c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：
当n＝4时，p＝______；当n＝12时，p______．
(参考数据：sin15°＝cos75°＝，cos15°＝sin75°＝)
A
B
E
O
F
A′
B′
第25题图
C

答案】b＋c；b＋c．
25.（2013福建泉州，25，12分）如图，直线分别与x、y轴交于点B、C，点A(- 2，0)，P是直线BC上的动点.
(1)求∠ABC的大小；
(2)求点P的坐标，使∠APO=30°；
(3)在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO = 30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点 P的个数有几个？若改变，指出点 P的个数情况，并简要说明理由.

(第 25 题图)
【考点解剖】本题考查了一次函数的综合运用.构造辅助圆是解题的关键.
【解题思路】（1）求出直线与x、y轴的交点B、C，从而确定OB,OC的长，在Rt△COB中求出tan ∠ABC 的值即可求得∠ABC ；（2）可以通过观察先猜出点 P的位置，再证明∠APO=30°或以AC为直径作圆与直线BC的两个交点即为符合条件的点 P ；（3）以AO为弦，AO所对的圆心角等于 60°画圆，再利用图形讨论点P的个数情况．
【解答过程】解：(1)∵直线分别与x、y轴交于点 B、C
∴当x =0时,；当y=0 时，x =2
∴OB = 2, OC =
在Rt△COB中
∵tan ∠ABC =
∴∠ABC = 60°
(2)解法一：
如图1，连结AC
由(1)知：B(2，0)，C(0,)，AO = OB =2
在Rt△COB中，由勾股定理得,
∵AB=BC=4，∠ABC=60°
∴△CAB是等边三角形
∵CO ⊥AB
∴∠ACO =30°
取 BC的中点P2, 连结OP2 ,易得P2(1，)
则 OP2∥AC
∴∠AP2O=∠CAP2=∠CAB=30°
∴点P的坐标为(0，)或(1,)

(第25 题图1)
注：则AP2 ⊥BC，连结 OP2
∴OP2= OA=OB
∴∠AP2O=∠BAP2=∠CAB=30°
∴点P的坐标为(0，)或(1,)
解法二：
如图2，以AC为直径作圆与直线BC的两个交点即为符合条件的点 P.

(第25 题图2)
(解法参照解法一)
(3)当BC在不同位置时，点 P的个数会发生改变，使∠APO = 30°的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个.
以AO为弦，AO所对的圆心角等于 60°的圆共有两个，
不妨记为⊙Q、⊙Q′，点Q、Q′关于x轴对称.
∵直线BC与⊙Q、⊙Q′的公共点 P都满足∠APO=∠AQO = ∠AQ′O = 30°
点 P的个数情况如下：
i)有1 个：直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相切；
ii)有2个：直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相交；
iii)有3个：直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相切，同时与⊙Q′(或⊙Q)相交；
直线BC过⊙Q与⊙Q′的一个交点，同时与两圆都相交；
iV)有4个：直线BC同时与⊙Q、⊙Q′都相交，且不过两圆的交点.

(第25 题图3)
或利用中 b的取值范围分情况说明.
【方法规律】讨论直线上的一个动点到两个定点的张角为已知角的问题，一种方法是先通过观察、猜想这个点的位置，然后再给出证明；另一种方法是构造一个辅助圆，使连接两个定点的线段所对的圆周角等于已知角，最后把问题转化为讨论直线与辅助圆的位置关系来解决.
【关键词】一次函数的图象 等边三角形 锐角三角函数值 圆心角、圆周角定理 直线与圆的位置关系 结论开放型问题