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相似图形
第四章 相似图形复习
一、知识要点
1、成比例线段：若a,b,c,d满足，则a,b,c,d称为成比例线段；
2、比例的性质：（1） ab=cd； （2）
（3） （）
3、黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
AC：AB=
4、相似多边形：如果两个多边形的角对应相等，边对应成比例，那么这个多边形叫做相似多边形．对应边的比叫做相似比．
5、相似三角形的判定：（1）两个角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
6、相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
7、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形．
8、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
二、典型例题：[来源:学+科+网]
例1 如果，求，，，
解法一：设a=k1,b=3k1,c=k2,d=3k2,代入就可以求得各值．
解法二：

学法指导：利用公比k，将各未知数的关系联系起来，或直接利用比例性质，还可以用a表示b,即b=3a，用c表示d，即d=3c，再代入求之．

例2 以长为2cm的定线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P．在BA的延长线上取点F，使PF＝PD．以AF为边长作正方形AFEM．点M落在AD上．（如图）[来源:Z*xx*k.Com]
（1）试求AM，DM的长；
（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．
分析：由AB=2cm，得AP=1cm，于是有DP=cm，PF=PD=cm， 因为AM=AF=-1（cm），所以，从而点M是AD的黄金分割点．
学法指导：要证明点M是AD的黄金分割点，只需要证明等式或成立即可．

例3 一位同学想利用树影测出树高，他在某时刻测得直立的标杆高1米，影长是0.9米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙CD上，（如图所示）他测得BC=2．7米，CD=1．2米．你能帮他求出树高为多少米吗？[来源:学科网ZXXK]
E
解：如图，树的一部分AE的影投射到CD．即AE=CD=1.2米．根据题意，得
，解得BE=3米
所以，AB=AE+BE=3+1.2=4.2米．
学法指导：解决本题的关键是要弄清影CD是由树的哪部分投影的，再利用相似三角形的知识求出另一部分，就可以求出树的高度．[来源:Z_xx_k.Com]

例4 如图，矩形ABCD中，E，F分别在BC，AD上，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝2，S矩形ABCD＝3S矩形ECDF．试求S矩形ABCD．
解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF

学法指导：要求矩形的面积，只需要求出BC的长．然后利用了相似多边形的性质，“相似多边形的面积的比等于相似比的平方”，根据面积的关系，可求出BC的长．
图形的放大与缩小
要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1，看一看有几种方法？

橡皮筋法，方格纸放大法，电脑放大在图形外取一点作射线找比例线段也可以作出.
主要是找比例线段得到的是相似图形，对应顶点连线都过一定点，它符合位似图形，得到的一对图形是位似图.
我们今天就利用位似将上面图形放大到要求比例.
图（一）
图（二）
图（一）：在原图上取几个关键点A、B、C、D、E、F、G，作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP，在这些射线上依次取点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′=2AP，PB′=2BP，PC′=2CP，PD′=2DP，PE′=2EP，PF′=2FP，PG′=2GP；顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的图形就是符合要求的图形.
图（二）：在原图上取关键点A、B、C、D、E、F、G，作射线PA，PB，PC，PD，PE，PF，PG，在这些射线上依次取点A′,B′,C′，D′，E′，F′，G′，使PA=AA′，PB=BB′，PC=CC′，PD=DD′，PE=EE′,PF=FF′，PG=GG′，顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的图形就是符合条件的图形.
利用位似将图形放大或缩小的作图步骤.
第一步：在原图上选取关键点若干个,并在原图外任取一点P.
第二步：以点P为端点向各关键点作射线.
第三步：分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例.
第四步：顺次连接截取点.
即可得到符合要求的新图形.
简记方法:
1.选点
2.作射线
3.定对应点
4.连线
练习
3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是

20. 如图， 在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3、AE=4，则CH的长是 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
7. 如图，、分别是、的中点，则
A. 1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D. 2∶3

8. 若与的相似比为１∶2，则与的周长比为
A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.１∶
23. （10分）如图，中，分别是边的中点，相交于.
B
C
D
G
E
A

求证：.
[来源:Zxxk.Com]

24.（12分）如图，在和中，，，．
⑴ 判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？
⑵ 能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．

25.（12分）如图，□中，，，，为上一动点（不与重合），作于，，的延长线交于点，设，的面积为．
（1）求证：；
（2）求用表示的函数表达式，并写出的取值范围；[来源:学#科#网]

25.（12分）如图，□中，，，，为上一动点（不与重合），作于，，的延长线交于点，设，的面积为．
（1）求证：；
（2）求用表示的函数表达式，并写出的取值范围；[来源:学#科#网]

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