迈克尔孙非定域干涉图样的分析.doc

2008大学生物理实验研究论文
迈克尔孙非定域干涉图样的分析
赵国平
（东南大学 机械工程学院，南京 210096）
摘 要： 解释迈克尔孙干涉实验中非定域干涉图样的成因，理论分析推导在两反射镜不严格垂直时干涉图样的方程，并通过Matlab软件数值模拟出非定域干涉可能出现的图像。
关键词： 迈克尔孙实验；非定域干涉图样；Matlab模拟
Analysis of Michelson Non-Localized Interference
Zhao Guo Ping
(School of Mechanical Engineering of Southeast University Nanjing 210096)
Abstract: Explained the cause of the Michelson Non-Localized Interference, analyzed the situation when two mirrors are not strictly vertical from the theory, and through Matlab numerical simulation software to simulate the possible image.
key words: Michelson interference experiment; non-localized interfering patterns; Matlab simulation

迈克尔孙干涉仪，设计精巧，原理简单，是许多现代干涉仪的原型，它不仅可用于精密测量长度，还可应用于测量介质的折射率，测定光谱的精细结构等。它的主要特点是：两相干光束分得很开；光程差的改变可以由移动一个反射镜（或在光路中加入另一种介质）得到。我们可以用迈克尔孙干涉仪做光的非定域干涉实验，以此来测定光的波长。但是实验教材中关于非定域干涉图样的形状及成因介绍的比较抽象，本文从理论的角度出发，分析、解释非定域干涉的现象，并给出实验中所得非定域干涉图样的数学方程，同时用Matlab软件仿真模拟出在实验中可能出现的所有图样的形状。

作者简介：赵国平（1989-），男，江苏淮安人，本科在读。Email:zgppgz89@
1 实验回顾
图1 点光源产生非定域干涉光路图
在“用迈克尔孙干涉仪观察非定域干涉图样” 实验中，激光束经短焦距凸透镜扩束后得到点光源S，它发出的球面波经G1反射可等效为是由虚光源S’发出的（如图1）。S’发出的光再经M1和M2’的反射又等效为由虚光源S1和S2发出的两列球面波，这图1 点光源产生非定域干涉光路图
两列球面波在它们相遇的空间内产生干涉，从而形成非定域干涉图样。
下面我们利用图1作为原理图进行理论计算。
当M1和M2’绝对平行时有
(1)
为S1和S2发出的球面波在屏上任一点P（对应于入射角为）的光程差。
当且在很小时(1)式可简化为
(2)
由式(2)可知，在确定时，由唯一确定，即对应同一个，值不变。因此，我们能够在屏上看到同心干涉圆环纹。
2 问题提出
在实际实验中，当我们将M2’逐渐靠近M1时发现看到的干涉条纹由原来的比较接近圆的情况变得越来越接近椭圆。后来经调节仪器发现是M2’和M1不平行所致。因此我便想通过理论计算当M2’和M1不平行时干涉条纹的形状来解释实验中的现象。
3 问题分析
当M2’和M1不平行时，首先为简化问题，设M2’和M1成角且M2’和M1都垂直与水平面。此时，以O点为坐标原点建立三维坐标系（如图2）。XOY平面为观察屏所在平面，其平行于M1所在平面；Z轴垂直于M1平面。
图2 两镜不完全平行时的非定域干涉光路图

3.1 光程差解析式的理论推导
此时，光程差为

设S’坐标为，M2’的方程为 ,M1的方程为，为使计算结果较为简单，令 ；
则有，S1的坐标为，S2的坐标为。设点为XOY平面内任意一点，则
(3)
(4)
因而

(5)
令，…，则有

(6)
化简得
(7)
显然，这是一个二次曲线，猜测其图像应为圆、椭圆、抛物线和双曲线中的一种或几种。关于这个猜想的详细证明，在一些书中有介绍，在此我就不作论述。下面我主要通过Matlab数值模拟来验证猜想。
3.2 Matlab数值模拟图像分析
以上已经推导出了光程差的解析式，下面通过Matlab软件对图像进行数值模拟。
为了便于讨论，并注意到实际情况：M1与光屏固定在可动导轨上、M2’与虚光源相对实验仪静止，即：若光屏相对实验仪移动距离为，则的变化量与的变化量之间的关系为：
(8)
故令初始状态：

则当转动手轮，使光屏移动距离时，式(7)可简化为

由此可以看出图像的形状与值即的大小以及的大小密切相关。
图3 时模拟出的图像
首先令，即非定域干涉的理想情况，同时考虑到实际实验中光源并非理想点光源，且光波波长会有一定的抖动，故取光波波长，抖动范围为，用Matlab模拟出图像随的变化情况：

图4.b
图3.a

图3.b

图3.a中四个切片图像是当取不同值，即光屏位置改变时，光屏上的干涉图样。图中所标注的X轴和Y轴分别对应图2中的X轴和Y轴。若取，用Matlab模拟后则得到 图3.b，这和我们在实验中所看到的图像特性是一致的。
再令，即在M1和M2’成时的情况。用Matlab模拟后得如下图像

图4 时模拟出的图像

图4.a

同样，其中图4.a中四个切片图像是当光屏取不同位置时所模拟出在光屏上的非定域干涉图样。图中所标注的X轴和Y轴分别对应图2中的X轴和Y轴。若取，用Matlab模拟后则得到图4.b，显然，此时的干涉图样已经变为椭圆，与前面的猜想相吻合。
由图4.b可进一步猜想，图像有可能有随着x和y取值的变大而由椭圆渐变为抛物线和双曲线的趋势。为验证假想，取x和y在[-4000mm,4000mm]上变化，得如下图像：
图5 图像的变化趋势

观察图5，发现干涉条纹之间发生了相互重叠，这是由于计算机屏幕大小有限所导致，在实际试验中，只要光屏、两反射镜大小及角度合适，我们是可以看到双曲线的干涉图样的。
参考文献：
[1] 钱锋，潘人培. 大学物理实验（修订版）[M]. 2005，高等教育出版社，2006. 230-231.
[2] 陈杰.MATLAB宝典[M].2007，电工电子出版社，2007. 281-300.