1、
2013高考数学附加题专练（1）
1.（矩阵与变换选做题）已知矩阵A =，B =，
求满足AX=B的二阶矩阵X．
2.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，
极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为
（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.
3、如图，在三棱锥中，平面⊥平面，,
.
(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
(2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C
2、的余弦值为，求BM的最小值.
4、对称轴为坐标轴,顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A(a，2a)、B(4a，4a)，(其中a为正常数)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设动点T，直线AT、BT与抛物线C的另一个交点分别为A1、B1，当变化时，记所有直线组成的集合为M，求证：集合M中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．
参考答案
1．解：由题意得，…………………………5′
， …………………………10′
2.解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
3、
即，它表示以为圆心，为半径的圆，…………………………3′
直线方程的普通方程为，…………………………6′
圆C的圆心到直线l的距离，
故直线被曲线截得的线段长度为．…………………………10′
3.解：（1）取AC中点O,因为AB=BC，所以,
∵平面⊥平面
平面平面=AC,
∴平面PAC
∴…………………………1′
以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为
x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
因为AB=BC=PA=,所以OB=OC=OP=1
从而O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0),
C(0,1,0),P(0,
4、0,1), ……………………2′
∴
设平面PBC的法向量，
由得方程组
，取…………………………3′
∴
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。…………………………4′
（2）由题意平面PAC的法向量，…………………………5′
设平面PAM的法向量为
∵又因为
∴ 取，…………………………7′
∴
∴
∴ 或 （舍去）
∴B点到AM的最小值为垂直距离。…………………………10′
4.解：(1)当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程y2=2Px，
∵ ∴P=2a…………………………2′
∴y2=4ax
当抛物线焦点在y轴上时，设抛物
5、线方程x2=2py
∵ ∴方程无解 ∴抛物线不存在…………………………4′
(2)设A1(as2，2as)、B1(at2，2at) T(m，0)(m>a)
∵ ∴=
∴as2+(m-a)s-m=0
∵(as+m)(s-1)=0 ∴S=-
∴A1(，-2m) …………………………5′
∵ ∴=
∵2at2+(m-4a)t-2m=0 ∴(2at+m)(t-2)=0
∴t=- ∴B1(，-m) …………………………6′
∴的直线方程为y+2m=(x- )…………………………7′
∵直线的斜率为在单调
∴所以集合M中的直线必定相交，…………………………8′
∵直线的横截距为在单调，纵截距为在单调
∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。
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