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2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学试题
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。
1、函数的最小正周期为 ▲
Y
N
输出n
开始
结束
（第5题）
2、设（为虚数单位），则复数的模为 ▲
3、双曲线的两条渐近线的方程为 ▲
4、集合共有 ▲ 个子集
5、右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ▲
6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
2、
运动员
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定（方程较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲
7、现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，
则都取到奇数的概率为 ▲
8、如图，在三棱柱中，分别是
的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体
积为，则 ▲
9、抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含
三角形内部和边界）。若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 ▲
3、
10、设分别是的边上的点，，，
若（为实数），则的值为 ▲
11、已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解
集用区间表示为 ▲
12、在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，
右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，
若，则椭圆的离心率为 ▲
13、在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，
若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ▲
14、在正项等比数列中，，，则满足的
最大正整数的值为 ▲
4、二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分14分）
已知，。
（1）若，求证：；
（2）设，若，求的值。
16、（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中，平面平面，
，，过作，垂足为，
点分别是棱的中点。
求证：（1）平面平面；
（2）。
17、
x
y
A
l
O
（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，点，直线。
设圆的半径为，圆心在上。
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的
5、切线，
求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐
标的取值范围。
18、（本小题满分16分）
C
B
A
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，
6、 乙步行的速度应控制在什么范围内？
19、（本小题满分16分）
设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，，
其中为实数。
（1）若，且成等比数列，证明：（）；
（2）若是等差数列，证明：。
20、（本小题满分16分）
设函数，，其中为实数。
（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中
7、两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．(2013江苏，21)A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.
求证：AC＝2AD.
B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.
C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲
8、线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，，…，即当(k∈N*)时，an＝(－1)k－1k.记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．对于l∈N*，定义集合Pl＝{n|Sn是an的整数倍，n∈N*，且1≤n≤l}．
(1)求集合P11中元素的个数；
(2)求集合P2 000中元素的个数．
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