高考数学各地名校试题解析分类汇编（一）3导数2理.doc

各地解析分类汇编:导数2

1【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）
已知函数.
（1）求的极值；
（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）的定义域为,，……2分
令得，
当时，是增函数；
当时，是减函数，
∴在处取得极大值，，
无极小值. ………………5分
（2）①当时，即时，
由（1）知在上是增函数，在上是减函数，
,
又当时，，
当时，；当时，；
与图象的图象在上有公共点，
，解得，又，所以. ………9分
②当时，即时，在上是增函数，
∴在上的最大值为，
所以原问题等价于，解得.
又,∴无解.
综上，实数a的取值范围是. ……13分
2.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分14分）已知函数的导数为实数，.
（Ⅰ）若在区间［-1，1］上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；
（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数。
【答案】解：（Ⅰ）由已知得，，……………………1分
由得.
，当时，递增；
当时，，递减.
在区间［-1，1］上的最大值为.………………3分
又.
由题意得，即，得为所求。 ………………5分
（Ⅱ）解：由（1）得，点P（2，1）在曲线上。
（1） 当切点为P（2，1）时，切线的斜率，
的方程为.………………6分
（2） 当切点P不是切点时，设切点为切线的余率，
的方程为。又点P（2，1）在上，，
，
.切线的方程为.
故所求切线的方程为或.……………………………………8分
（Ⅲ）解：.
.
. ……………………10分
二次函数的判别式为
得：
.令，得，或。
，
时，，函数为单调递增，极值点个数0； ………………12分
当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，
可知函数有两个极值点. ……………………………………14分
3.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】本题满分12分)已知是函数的一个极值点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当，时，证明：
【答案】（Ⅰ）解：， --------------------2分
由已知得，解得．
当时，，在处取得极小值．
所以. ----------------4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，.
当时，，在区间单调递减
当时，，在区间单调递增.
所以在区间上，的最小值为.------ 8分
又，，
所以在区间上，的最大值为. ----------10分
对于，有．
所以. -------------------12分
4.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】(本题满分14分)已知函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果当且时，恒成立，求实数的范围.
【答案】（1）定义域为 -----------2分
设
① 当时，对称轴，，所以在上是增函数 -----------------------------4分
② 当时，，所以在上是增函数 ----------------------------------------6分
③ 当时，令得
令解得；令解得
所以的单调递增区间和；的单调递减区间
------------------------------------8分
（2）可化为（※）
设，由（1）知：
① 当时，在上是增函数
若时，；所以
若时，。所以
所以，当时，※式成立--------------------------------------12分
② 当时，在是减函数，所以※式不成立
综上，实数的取值范围是．----------------------------14分
解法二 ：可化为
设
令

,

所以
在
由洛必达法则
所以
5.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分12分）设函数为奇函数，且在时取得极大值.
（I）求b，c；
（II）求函数的单调区间；
（III）解不等式.
【答案】

6.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分12分）设函数.
（I）求证：；
（II）记曲线处的切线为，若与轴、轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值.
【答案】
7.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分14分）
已知函数
（I）讨论的单调性；
（II）若有两个极值点，证明：
【答案】
8.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）
已知函数，当时，函数有极大值.
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】

①当时，，令得
当变化时，的变化情况如下表：

-

+

-

单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
根据表格，又，，
9.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分14分）
已知：函数，其中．
（Ⅰ）若是的极值点，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）解：． 依题意，令，解得 ．
经检验，时，符合题意． ……4分
（Ⅱ）解：① 当时，．
故的单调增区间是；单调减区间是． …………………5分
② 当时，令，得，或．
当时，与的情况如下：

↘

↗

↘
所以，的单调增区间是；单调减区间是和．
当时，的单调减区间是．
当时，，与的情况如下：

↘

↗

↘
所以，的单调增区间是；单调减区间是和．
③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是．
综上，当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是和；
当时，的减区间是；
当时，的增区间是；减区间是和．
……11分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，由，知不合题意．

当时，在的最大值是，
由，知不合题意．
当时，在单调递减，
可得在上的最大值是，符合题意．
所以，在上的最大值是时，的取值范围是． …………14分
10.【 北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分13分）
　　已知函数（）.
　　（1）若，试确定函数的单调区间；
　　（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.
　　（3）若，求的取值范围.
【答案】　　（Ⅰ）解：当时，，所以，
　　　　　由，解得，
　　　　　由，解得或，
　　　　　所以函数的单调增区间为，减区间为和.　
　　（Ⅱ）解：因为，
　　　　　由题意得：对任意恒成立，
　　　　　即对任意恒成立，
　 　　　 设，所以，
　　 　　 所以当时，有最大值为，
　　 　　 因为对任意，恒成立，
　　 　　 所以，解得或，
　　 　　 所以，实数的取值范围为或.
　　（III）.
11.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分12分）. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
【答案】
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝
所以，
所求函数关系式为┅┅┅3分
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为┅┅┅6分
（Ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，┅┅┅9分
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边
km处。┅┅┅12分
12.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分14分）定义：若，使得成立，则称为函数的一个不动点
(1)下列函数不存在不动点的是（ ）---（单选）
A. （） B.(b>1)
C. D.
(2)设 (),求的极值
(3)设 ().当>0时，讨论函数是否存在不动点，若存在求出的范围，若不存在说明理由。
【答案】（1）C┅┅4分
（2）
①当a=0时，，在上位增函数，无极值；
②当a<0时，>0恒成立，在上位增函数，无极值；
③当a>0时, =0,得，列表如下：
X

0
_

增
极大值
减
当时，有极大值=
综上，当时无极值，当a>0时有极大值=.┅┅10分
（3）假设存在不动点，则方程有解，即有解。
设，（a>0）有（2）可知极大值，下面判断极大值是否大于0，设，（a>0）,,列表如下：
A

e

0
—
P(a)
增
极大值
减
当a=e时，极大值=p(e)=<0,所以恒成立，即极大值小于零，所以无不动点。┅┅14分
13.【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学理】本题满分13分）
设函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．
【答案】方法2：∵，
∴．…………………………6分
即，
令， ∵，且，
由．
∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．……………………9分
∵，，，
又，
故在区间内恰有两个相异实根．
……………………………………11分
即．
综上所述，的取值范围是． ……………………………13分
所以…………………………………………………………12分

14.【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学理】本小题满分13分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件.
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值
【答案】1）分公司一年的利润L（万元）与售价的函数关系式为：
……………………………………4分（少定义域去1分）
（2）
令得或（不合题意，舍去）…………………………6分
∵，∴ 在两侧的值由正变负.......8分
所以（1）当即时，
………………………………10分
（2）当即时，
，
所以 …………………………………………12分

15.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】（本小题满分14分）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对，，都有，求的取值范围。
【答案】解：(1)，令得…………………………….3分
当时，在和上递增，在上递减；
当时，在和上递减，在上递增…………………8分
(2) 当时，；所以不可能对，都有；
当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。…………………………………………………………………….14分