高考物理第一轮复习导学105追及与相遇问题.doc

高考物理第一轮复习同步导学
§1．5　追及与相遇问题
【考点自清】

一、相遇
指两物体分别从相距x的两地运动到同一位置，它的特点是：两物体运动的位移的矢量和等于x，分析时要注意：
⑴、两物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系；
⑵、两物体各做什么形式的运动；
⑶、由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立位移的矢量方程。
【例1】1999年5月11日《北京晚报》报道了一位青年奋勇接住一个从15层高楼窗口落下的孩子的事迹。设每层楼高是2.8m，这位青年所在的地方离高楼的水平距离为12m，这位青年以6m/s的速度匀速冲到楼窗口下方，请你估算出他要接住小孩至多允许他有的反应时间（反应时间指人从发现情况到采取相应行动经过的时间）。 (g取10 m/s2)
【答案】0.8s
【针对练习1】一人站在离公路h=50m远处，如图所示，公路上有一辆汽车以v1=10m/s的速度行驶，当汽车到A点与在B点的人相距d=200m时，人以v2=3m/s的平均速度奔跑，为了使人跑到公路上恰与汽车相遇，则此人应该朝哪个方向跑?
【答案】此人要朝与AB连线夹角α=arcsin的方向跑
二、追及
指两物体同向运动而达到同一位置。找出两者的时间关系、位移关系是解决追及问题的关键，同时追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件：
（1）类型一：一定能追上类
常见情形
图象
说明
匀加速追匀速

①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大
②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋Δx
③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小
④能追及且只能相遇一次
注：x0为开始时两物体间的距离
匀速追匀减速

匀加速追匀减速　

特点：
①追击者的速度最终能超过被追击者的速度。
②追上之前有最大距离发生在两者速度相等时。
【例2】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车前方相距18m的地方以6m/s的速度匀速行驶，则何时相距最远？最远间距是多少？何时相遇？相遇时汽车速度是多大？

【解析】速度相等时相距最远，即t＝2s时，
△xmax＝x自＋x0－x汽＝24m
设经t1相遇，则x自＋x0＝x汽,
v自t＋18＝3t2/2，
得t1＝6s或－2s舍去,
v汽＝at1＝18m/s
【方法提炼】解决这类追击问题的思路：
①根据对两物体运动过程的分析，画运动示意图
②由运动示意图中找两物体间的位移关系，时间关系
③联立方程求解，并对结果加以验证
【针对练习2】一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边驶过的货车（以8m/s的速度匀速行驶）有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s将警车发动起来，以2m/s2的加速度匀加速追赶。求：①发现后经多长时间能追上违章货车？
②追上前，两车最大间距是多少？
【解析】①设经过t追上；则x警＝x货，
2×(t－2.5)2/2＝8t
得t＝12.5s或2.5s舍去。
②速度相同时，间距最大，
设经过t速度相同，
8＝a(t1－2.5)
得t1＝6.5s
x货＝8×6.5＝52m
x警＝2×42/2＝16m
△xmax＝x货－x警＝36m
（2）、类型二：不一定能追上类
常见情形
图象
说明
匀减速追匀速

开始追及时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
②若Δxx0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇
注：x0是开始时两物体间的距离
匀速追匀加速

匀减速追匀加速

特点：
①被追击者的速度最终能超过追击者的速度。
②两者速度相等时如果还没有追上，则追不上，且有最小距离。
【例3】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车后方相距20m的地方以6m/s的速度匀速行驶，则自行车能否追上汽车？若追不上，两车间的最小间距是多少？

【解析】解法一：假设假设自行车经过t追上汽车，则x汽＋x0＝x自，
3t2/2＋20＝6t
即1.5t2－6t＋20＝0
∵△＜0，∴t无解，追不上；
当速度相同时间距最小，
设经过t1s速度相同，
v汽＝v自
at1＝v自
∴t1＝v自/a＝6/3＝2s
△xmin=x汽+x0-x自=at12/2+x0－v自t1=14m
解法二：速度相同时；
∵x汽+x0=26m>x自=12m
∴追不上。
【方法提炼】在速度相同时：
⑴、x汽+x0＞x自时，追不上。
⑵、x汽+x0＜x自时，能追上，若不考虑碰撞，则会相遇两次。
⑶、x汽+x0＝x自时，刚好追上。
【针对练习3】例3中若汽车在自行车前方4m的地方，则自行车能否追上汽车？若能，两车经多长时间相遇？
【答案】能追上。
设经过t追上；则有x汽+x0=x自；
3×t2/2+4=6t
得t=(6±2√3)/3s，二次相遇
【重点精析】
一、追及问题的解题思路和方法
⑴审题：分析追赶物和被追赶物的运动过程，画出两物追赶过程的示意图。
⑵根据两物体的运动性质列出位移方程，注意两物体运动的时间关系。
⑶由运动示意图找出两物体位移方程。
⑷挖掘隐含的临界条件；速度相等是两物体间距离最大、最小或恰好追上的临界条件。
⑸联立方程求解。
【例4】一辆汽车在十字路口等候绿灯.当绿灯亮时汽车以a=2m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v自=10m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车.问：
（1）汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？最远距离是多少？
（2）经多长时间汽车追上自行车？此时汽车离路口多远？汽车的速度是大？
【解析】（1）相距最远时，运动示意图如下：
x自
x汽
△x

解法一：利用分析法求解：
由分析运动过程可知，当汽车的速度和自行车的速度相等时，两者间的距离最大.
此时：v自= v汽= at，则t= v自/a=5s
最大距离：△xmax=x自－x汽=v自t－at2/2=25m
解法二：利用代数法求解：
设经过时间t，自行车和汽车间的距离为△s，由题意知：
△x= x自－x汽= v自t－at2/2=－(t－5)2+25
所以，当t=5s时，△xmax=25m.
（2）汽车追上自行车时，运动示意图如下：
x汽=x自

此时：s汽=s自，即
将a=2m/s2，v自=10m/s代入上式得：
所以，t=10s时汽车追上自行车.（t=0舍去）
此时汽车离路口的距离为：.
汽车的速度为：v=at=2×10m=20m/s.
能否用v—t图象来直观地反应汽车追赶自行车的过程呢？
t/s
v/m·s-1
汽车
O
10
5
自行车
20
10

【方法提炼】分析追及问题时应注意：
(1)抓住一个条件，两个关系.
一个条件：是两物体满足的临界条件：速度相等.
两个关系：是时间关系和位移关系.其中通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口.
（2）仔细审题，充分挖掘题设中的隐含条件，如“刚好”、“最多”、“至少”，往往对应一个临界状态，是解题的关键.
（3）解题方法常用：分析法、代数法、图象法、相对运动法等.
2、避碰问题
【例5】在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？
【解析】解法一：(物理分析法)A、B车的运动过程(如图所示)利用位移公式、速度公式求解.
对A车有sA＝v0t＋×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
对B车有sB＝at2，vB＝at
两车有s＝sA－sB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤
解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知sA＝s＋sB，即v0t＋×(－2a)×t2＝s＋at2
整理得3at2－2v0t＋2s＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(2v0)2－4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤
解法三：(图象法)利用速度—时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v＝v0－2at
对B车有vB＝v＝at
以上两式联立解得t＝
经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
s＝v0•t＝v0•
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤
【方法提炼】三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过图象不仅将两物体运动情况直观、形象地表示出来，也可以将位移情况显示，从而快速解答.
3、若被追击者做匀减速直线运动，要注意追上之前是否已经停止运动。
【例6】甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问（1）两车间的最大距离（2）经多少时间乙车可追上甲车？
解析：乙此追上甲车可能有两种不同情况：甲车停止前被追及和甲车停止后被追及。究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。
设经时间t追上。依题意：
v甲t－at2/2＋L＝v乙t
15t－t2/2＋32＝9t
得t＝16s和t＝－4s(舍去)
甲车刹车的时间t′＝v0/a＝15s
显然，甲车停止后乙再追上甲。
甲车刹车的位移
x甲＝v02/2a＝152/2＝112.5m
乙车的总位移
x乙＝x甲＋32＝144.5m
t＝x乙/v乙＝144.5/9＝16.06s
【同步作业】
1、两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶.t＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始.它们在四次比赛中的v-t图象如图所示.哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上另一辆( 　　 )

【解析】由v-t图象的特点可知，图线与t轴所围成面积的大小，即为物体位移的大小.观察4个图象，只有A、C选项中，a、b所围面积的大小有相等的时刻，故A、C正确.
2、（2008宁夏卷17）甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v-t图象如图所示。两图象在t=t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S。在t=0时刻，乙车在甲车前面，相距为d。已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能是( 　　 )
A．t′＝t1，d=S B．t′＝t1/2，d=S/4
C．t′＝t1/2，d=S/２ D．t′＝t1/2，d=3S/4
【解析】本题考查追击相遇问题。在t1时刻如果甲车没有追上乙车，以后就不可能追上了，故t′ ＜t1，A错；从图像中甲、乙与坐标轴围成的面积即对应的位移看，甲在t1时间内运动的位移比乙的多S，当t′ =0.5 t1时，甲的面积比乙的面积多出3S/4，即相距d=3S/4，选项D正确。此类问题要抓住图像的交点的物理意义
3、现检测汽车A的制动性能：以标准速度20 m/s在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来.若A在平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方180 m处有一货车B以6 m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？
【解析】如图，汽车A以v0＝20 m/s的初速度做匀减速直线运动经40 s停下来.据加速度公式可求出a＝－0.5 m/s2.当A车减为与B车同速时，是A车逼近B车距离最多的时刻，这时若能超过B车则相撞，反之则不能相撞.
据v2－＝2ax可求出A车减为与B车同速时的位移
x1＝m＝364 m
此时间t内B车的位移为x2，则t＝s＝28 s
x2＝v2t＝6×28 m＝168 m
Δx＝364 m－168 m＝196 m>180 m
所以两车相撞.
4、在一条平直的公路上，乙车以10 m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15 m/s，加速度大小为0.5 m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动).
解析】设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追上乙车时，应有
v甲t－＝v乙t＋L
其中t＝，解得L＝25 m
若L>25 m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，即两车不相遇.
若L＝25 m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大.
若L<25 m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次.
5、从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔Δt时间后再以初速度v0竖直上抛物体B.要使A、B在空中相遇，Δt应满足什么条件？
【解析】A、B两物体都做竖直上抛运动，由s＝v0t－gt2作出它们的s-t图象，如图所示.显然，两图线的交点表示A、B相遇(sA＝sB).
由图象可看出Δt满足关系式时，A、B在空中相遇.
6、汽车以速度v1=15m/s的速度在平直公路上匀速行驶，突然发现正前方距车x=25m处有一辆自行车沿相同方向以速度v2=5m/s的速度匀速运动.司机立即使汽车做匀减速运动，加速度大小为a，要使两者不相撞，求加速度a应满足的条件.
【解析】要使两者不相撞，则当汽车的速度与自行车的速度相等时，汽车刚好追上或还没有追上自行车.即当两者速度相等时，汽车的位移与自行车的位移之差应不超过s.
运动示意图如下：
x
v1
x汽
v2
v
v
x自

解法一：以地面为参考系：
汽车与自行车速度相等时所用时间： ①
此段时间内，汽车运动的位移： ②
此段时间内，自行车运动的位移： ③
两者不相撞的条件为：x汽－x自≤x ④
联立①、②、③、④式得：≥
代入已知数据得：a≥2m/s2.
解法二：以自行车为参考系：
从汽车开始刹车到与自行车速度相等的过程中，汽车相对自行车的：
相对初速度；相对末速度；相对加速度.
汽车相对自行车的位移 ①
两者不相撞的条件为：相对位移≤s ②
联立①、②两式得：≥
解法三：利用图象法求解：
作出同一v－t图中汽车和自行车的速度图象，如图所示.
其中画斜线部分的面积表示速度相等时，汽车比自行车多运动的位移.
汽车
自行车
t
v
O
t
v1
v2
即： ①
时间： ②
两者不相撞的条件为：s汽－s自≤s ③
联立①、②、③式得：≥
7、从离地面高度为h处有自由下落的甲物体，同时在它正下方的地面上有乙物体以初速度v0竖直上抛，要使两物体在空中相碰，则做竖直上抛运动物体的初速度v0应满足什么条件？（不计空气阻力，两物体均看作质点）.若要乙物体在下落过程中与甲物体相碰，则v0应满足什么条件？
【解析】选择乙物体为参照物，则甲物体相对乙物体的初速度：v甲乙=0-v0= -v0
甲物体相对乙物体的加速度 a甲乙=-g-（-g）=0
由此可知甲物体相对乙物体做竖直向下，速度大小为v0的匀速直线运动。所以，相遇时间为：t=
对第一种情况，乙物体做竖直上抛运动，在空中的时间为：0≤t≤
即：0≤≤
所以当v0≥，两物体在空中相碰。
对第二种情况，乙物体做竖直上抛运动，下落过程的时间为：≤t≤
即≤≤。
所以当 ≤v0≤时，乙物体在下落过程中与甲物体相碰。
8、（1999年全国）为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速v=120 km/h.假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t=0.50 s，刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重的0.40倍，该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少？（取重力加速度g=10 m/s2）
【解析】在反应时间内，汽车作匀速运动，运动的距离s1=vt
设刹车时汽车的加速度的大小为a，汽车的质量为m，有f=ma
自刹车到停下，汽车运动的距离s2=v2/2a
所求距离s=s1+s2
由以上各式得s=1.6×102m
9、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度v1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。汽车司机发现游客途经D处时，经过0.7s作出反应紧急刹车，但仍将正步行至B处的游客撞伤，该汽车最终在C处停下，如图所示。为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警方派一警车以法定最高速度vm＝14.0m/s行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的起始制动点A紧急刹车，经14.0ｍ后停下来。在事故现场测得＝17.5ｍ，＝14.0ｍ，＝2.6ｍ．肇事汽车的刹车性能良好，问：
（1）该肇事汽车的初速度 vA是多大?
（2）游客横过马路的速度是多大?
【解析】（1）警车和肇事汽车刹车后均做匀减速运动，其加速度大小，与车子的质量无关，可将警车和肇事汽车做匀减速运动的加速度的大小视作相等。
对警车，有vm2＝2s；对肇事汽车，有vA2＝2s′，则
vm2/vA2＝s/s′，即vm2/vA2＝s／(＋)＝14.0／(17.5＋14.0)
故m/s
（2）对肇事汽车，由v02＝2s∝s得
vA2／vB2＝(＋)／＝(17.5＋14.0)／14.0
故肇事汽车至出事点Ｂ的速度为vB＝vA＝14.0m/s
肇事汽车从刹车点到出事点的时间t1＝2／(vA+vB)＝1s
又司机的反应时间t0＝0.7s，故游客横过马路的速度
v′＝／t0＋t1＝2.6／(0.7＋1)≈1.53m/s
从上面的分析求解可知，肇事汽车为超速行驶，而游客的行走速度并不快。

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