1、第3讲 空间几何体的表面积和体积
一．【要点精讲】
1．多面体的面积和体积公式
名称
侧面积(S侧)
全面积(S全)
体 积(V)
棱
柱
棱柱
直截面周长×l
S侧+2S底
S底·h=S直截面·h
直棱柱
ch
S底·h
棱
锥
棱锥
各侧面积之和
S侧+S底
S底·h
正棱锥
ch′
棱
台
棱台
各侧面面积之和
S侧+S上底+S下底
h(S上底+S下底+)
正棱台
(c+c′)h′
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆
2、锥
圆台
球
S侧
2πrl
πrl
π(r1+r2)l
S全
2πr(l+r)
πr(l+r)
π(r1+r2)l+π(r21+r22)
4πR2
V
πr2h(即πr2l)
πr2h
πh(r21+r1r2+r22)
πR3
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径
二．【热身训练】
1．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 。.
3、
2．已知是球表面上的点，，，
，，则球的表面积等于 。
3．在长方体中，，，则四棱锥的体积为 cm3.
4．已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于 .体积为 。
5．圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.
6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为 。
三．【典例解析】
例1．如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已
4、知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。
（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；
（2）求这个平行六面体的体积
图1 图2
例2 如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4 cm的正三角形，侧棱长为3 cm，侧棱AA1与底面相邻的两边都成60°角.
(1)求证：四边形CC1B1B是矩形；
(2)求这个棱柱的侧面积.
例3．三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB
5、1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= ____ _。
变式训练：如上图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 上的点，且EF∥BC，问：当点E在什么位置时，平面EB1C1F将三棱柱分为体积相等的两部分？
例4．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积
变式训练：（1）（直三棱柱的各顶点都在同一球面上，
,，则此球的表面积等于 。
（2）圆锥的底面半径为2，轴截面的顶角是1200，过两条母线的截面中，面积的最大值是_
6、
例5 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，、、分别为、、的中点，且.
（I）求证：平面平面；
（II）求三棱锥与四棱锥的体积
之比.
四．【反馈提高】
1．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是
。
2．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________。
3．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转
7、一周,所得旋转体的体积是________________．
4．圆锥的底面半径为5cm, 高为12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接圆柱的全面积有最大值?最大值是多少?
5．A、B、C是球面上三点，已知弦AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC与球心O的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．
6．如图：在四棱锥中，底面是菱形，，平面，点、分别为、的中点，且．
_
N
_
M
_
A
_
C
_
B
_
P
（I）证明：平面；
（II）求三棱锥的体积；
（III）在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
7如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．
（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．
8如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BD=。
（1）求棱锥P-ABCD的体积；
（2）求点C到平面PBD的距离．
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