高中数学竞赛专题讲座——三角函数与向量.doc

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高中数学竞赛专题讲座——三角函数与向量

一、三角函数部分
1．(集训试题)在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，
都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC（B）
A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形
C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形
解：由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，
因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，
∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=，而sinA>0，∴sinA=.
因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。
2．（2006吉林预赛）已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（C）
A．x=π/3 B．x=2π/3 C．x=11π/6 D．x=π
3．2006年南昌市）若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定
4．（2006年南昌市）若,,则以下诸式中错误的是( B )
A．= B．
C．= D．=
5．（2006安徽初赛）已知△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，∠DCE = 45°，则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是 （ ）
A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定
6．（2006陕西赛区预赛）若，则角的取值范围是(C)
A． B． C． D．
7．（2006年江苏）在△中，，．若△的最长边为，则最短边的长为 （ D ）
A． B． C． D．
8．(2005年浙江)设，，，，上述函数中，周期函数的个数是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解】： 是以任何正实数为周期的周期函数；不是周期函数。 因为是以为周期的周期函数, 是以为周期的周期函数, 而与之比不是有理数，故不是周期函数。不是周期函数。因为是以为周期的周期函数, 是以为周期的周期函数, 而，故是周期函数.不是周期函数.因此共有2个周期函数. 选 【 B 】
9．(2005年浙江)若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【解】：设 ， 。又由 ，故 。因此有 ，即
由于，所以有 ，即。 选 【 D 】
10． (2005全国)内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆
1,3,5
于、、。则的值为 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：如图，连，
则

11（2006陕西赛区预赛）已知为锐角，且，则 7/3
12（2004年浙江省预赛）设且 则对任意，
n .
解：
，
所以，
13（2006年浙江省预赛）设是非零实数，，若则
解：已知 ……………… （1）
将（1）改写成 .
而
所以有 .
即, 也即 将该值记为C。则由（1）知，
。于是有，.
而.
14（200 6天津）在中，，，分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则的取值范围是 ．
15（200 6天津）已知，，是平面上三个不同的点，且满足关系式，则实数的取值范围是 ．
16（2006年江苏）设，则的值是 ．
172006吉林预赛）若，且，则tanx的值为__________.
18（2006年南昌市）已知=,(＜q＜p,则=_____.
19．（2006年上海）设是给定的整数，是实数，则的最大值是 ．
20．（2004 全国）在平面直角坐标系xoy中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是________________.
解：，它的最小正周期为，振幅为。由的图像与的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为、宽为的长方形，故它的面积是。
21．(2005全国)设、、满足，若对于任意

则
解：设由，知，
即
，
又 只有
另一方面，当有记，
由于三点构成
单位圆上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有

1,3,5
即
1,3,5
二、向量部分
1．(集训试题)已知=(cosπ, sinπ), , ，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于 （ ）
A．1 B． C．2 D．
解：设向量=(x, y)，则，
即，
即. ∴或，∴S△AOB==1。
2．（2004全国）设O点在内部，且有，则的面积与 的面积的比为 （ ）
A．2 B． C．3 D．
解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，
则
由（1）（2）得，，
即共线，
且， 故选C。
3．（2006陕西赛区预赛）如图1，设P为△ABC内一点，且，
则△ABP的面积与△ABC的面积之比为( A )
A． B．
C． D．
4．(2005年浙江)已知，是两个相互垂直的单位向量，而，，.
则对于任意实数，的最小值是 （ ）
A．5 B．7 C．12 D．13
【解】：由条件可得

当时，。 选 【 C 】
5．(2005全国)空间四点A、B、C、D满足则的取值 （ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
解：注意到由于则=

即只有一个值得0，故选A。
6．（2006吉林预赛）已知P为△ABC内一点，且满足，那么S△PAB：S△PBC：S△PCA = .
7．（2006年南昌市）等腰直角三角形的直角顶点对应的向量为,重心对应的向量为,则三角形另二个顶点、对应的向量为______________.
8．（2006年浙江省预赛）手表的表面在一平面上。整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点i到整点（i＋1）的向量记作，则＝ .
1,3,5
解：连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正12边形.相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角，为30度。各边向量的长为 . 则. 共有12个相等项. 所以求得数量积之和为 .