2013届厦门市高三3月质量检查理科数学试题及答案.doc

厦门市2013届高三质量检查
数学（理科）试卷
注意事项：
1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.
1．已知全集，集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（ ）
A．20辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆
4. “”是”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.函数（ ）
A.是偶函数且为减函数 B. 是偶函数且为增函数
C.是奇函数且为减函数 D. 是奇函数且为增函数
开始
i = 0
输入正整数n
n为奇数?
n = 3n+1
n = n/2
i = i + 1
n = 1?
输出i
结束
6. 若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为，
现随机向区域内投掷一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为（ ）
A． B． C． D.
7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在右侧程序框图中，输入，按程序运行后输出的结果是（ ）
A．3 B．4 C．5 D.6

9．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10. 中，，为锐角，点O是外接圆的圆心，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。
11．若为纯虚数（为虚数单位），则实数= .
12．已知则＝ .
13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图
是半圆。现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到
A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为________．
14．在含有3件次品的10件产品中，取出件产品，
记表示取出的次品数，算得如下一组期望值：
当n=1时， ;
当n=2时， ;
当n=3时， ;
……
观察以上结果，可以推测：若在含有件次品的件产品中，取出件产品，记表示取出的次品数，则= ．
15．某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，则表示（如图），下列关于函数的描述正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
①的图象是中心对称图形； ②的图象是轴对称图形；
③函数的值域为； ④方程有两个解.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分13分）
已知函数（）的周期为4。
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，
、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小。
17．（本小题满分13分）
如图，PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O
（Ⅰ）求证：OP⊥平面QBD;
（Ⅱ）求二面角P-BQ-D平面角的余弦值；
（Ⅲ）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求的值.
18．（本小题满分13分）
某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元。此后该城市每年新增人口10万，医疗费用投入每年新增亿元。已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）预计该城市从2013年起，每年人口增长率为10%。为加大医疗改革力度，要求将来10年医疗费用总投入达到690亿元，若医疗费用人均投入每年新增元，求的值。
（参考数据：）
19. （本小题满分13分）
已知函数在处的切线与直线垂直，函数．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最大值．
20. （本小题满分14分）
已知椭圆.
（Ⅰ）我们知道圆具有性质：若为圆O：的弦AB的中点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆的类似性质，并加以证明；
（Ⅱ）如图（1），点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线，分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；
（Ⅲ）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

图（1） 图（2）
21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵 ，.
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵；
（Ⅱ）求直线在矩阵对应的线性变换作用下所得曲线的方程.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数）.
（Ⅰ）将C的方程化为普通方程；
（Ⅱ）以为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线C的极坐标方程是，
求曲线C与C交点的极坐标.
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知正数，，满足．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）若不等式对满足条件的，，恒成立，求实数的取值范围．

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数学（理科）评分标准
一．选择题；
10.分析1：BC=2，，所以，如图建系，
，求得圆O：，设，则
分析2：…
分析3：
又，
所以=
二．填空题： 11. 12. 13. (或) 14. 15．②③
15.分析：如图设，当P，Q关于对称时，即
,所以f(x)关于对称.
④设，则，观察出，则，由③知无解.
三．解答题：
16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力．满分13分．
解：（1）
----------------------------------------------------------------1分
-------------------------------------3分
-------------------------------------5分
-------------------------------------6分
（2）将的图像沿轴向右平移个单位得到函数---------------------------7分
因为、分别为该图像的最高点和最低点，
所以--------------------------------------------------------------------------9分
所以----------------------------------------------------------------------------10分
--------------------------------------------------12分
所以---------------------------------------------------------------------------------------13分
法2：
法3：利用数量积公式 ，
17． 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法，
考查空间想象、计算、推理论证等能力．满分13分．
解：（Ⅰ）连接OQ，由题知PA∥QC,∴P、A、Q、C共面
BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PACQ, ∴BD⊥OP. ------------------------------------------------------1分
由题中数据得PA=2，AO=OC=,OP=,QC=1，OQ=
∴△ PAO∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC,
又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP⊥OQ
（或计算PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，OP⊥OQ）------------------3分
∵OP⊥BD, OP⊥OQ,BD∩OQ=O，∴OP⊥平面QBD--------------------------4分
（Ⅱ）如图，以A为原点分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z轴建立直角坐标系，
∴各点坐标分别为A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C（2,2,0），D（0,2,0）,P（0,0,2）,Q(2,2,1),O(1,1,0)-- -----------------5分
∴=(-2,0,2), =（0,2,1）,设平面PBQ的法向量
∴，得，
不妨设，∴--------------------------------------------------------------------------------------------------6分
由（Ⅰ）知平面BDQ的法向量，----------7分
，>=，
∴二面角P-BQ-D平面角的余弦值为.--------------------------------------9分
（Ⅲ）设,∴,
，--------------------------------------------------11分
∵CE∥平面PBQ,∴与平面PBQ的法向量垂直。
,---------------------------------------------------12分
∴. ∴------------13分
（方法二）在平面PAD中，分别过D点、P点作直线PA、AD的平行线相交于点M，
连结MC交直线DQ与点N，在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E，----------------------------11分
由题可知CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N
∴平面CNE∥平面PBQ,∴CE∥平面PBQ----------------------------------12分
∵CQ=1，MD=PA=2，∴
∵NE∥PQ, ----------------------------------13分

18．本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力，考查等差等比数列的基本知识，考查数学建模及其应用与计算的能力，考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力．满分13分.
解：（Ⅰ）依题意，从2002年起，该城市的人口数组成一个等差数列，
到2012年，，该城市的人口数为万人， --------------------------------2分
故2012年医疗费用投入为元，即为30亿元，
由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列，---------------------------4分
所以，解得，----------------------5分
（Ⅱ）依题意，从2013年起（记2013年为第一年），
该城市的人口数组成一个等比数列，
其中，公比，-----------6分
医疗费用人均投入组成一个等差数列，
其中，公差为，；------------------7分
于是，从2013年起，将来10医疗费用总投入为：
，----------------------------------------8分
，
，
相减得：，
，
所以（万元），----------------12分
由题设，，解得。-13分

19. 本题主要考查函数的导数的几何意义，导数知识的应用等基础知识，函数的单调性、考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。满分13分.
解：（Ⅰ）∵，∴.----------------------------1分
∵与直线垂直，∴，∴.---------------------------------3分
（Ⅱ）∵，∴.---------------------------4分
由题知在上有解，∵,--------------5分
设，则 ∴只须------------------------------7分
，故的取值范围为.-------------------------------------------------8分
（Ⅲ）∵，∴令，得：
∴，
法1：∵

----------------------------10分
∵，∴设，令-------------------------11分
则，∴在上单调递减．-----------------------------------------12分
又∵，∴，即
∵，∴，∴，，故所求最小值为--13分
法2：同上得

--------------------------------------------10分
令，则----------------------------------------11分
≥0----------------------------------------------------------12分
在上为增函数.当时, 故所求最小值为-----13分
20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查类比推理论证能力、运算求解能力，考查一般到特殊的思想方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。满分14分.
解：（Ⅰ）若A，B为椭圆上相异的两点，为A，B中点，当直线AB
的斜率与直线OP的斜率的乘积必为定值;----- -------------1分
证1：设，则
（2）-（1）得：，-----------2分
仅考虑斜率存在的情况：------------------4分
证2：设AB：与椭圆联立得：
，-----------------------------------------------------------------------------------------------------2分
所以----------4分
（Ⅱ）（ⅰ）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率，
即，
所以点B处的切线QB：----------------6分
令，，令，所以------------8分
又点B在椭圆的第一象限上，所以

，当且仅当
所以当时，三角形OCD的面积的最小值为-------10分（没写等号成立扣1分）
（ⅱ）设，由（ⅰ）知点处的切线为：
又过点，所以，又可理解为点在直线上
同理点在直线上，所以直线MN的方程为：　--------------------------12分
所以原点O到直线MN的距离，----------13分
所以直线MN始终与圆相切. 　------------------------14分

21. （1）选修4-2：矩阵与变换
本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识，考查书写表达能力、运算求解能力。满分7分K^S*5U.C#O%
解：（Ⅰ），矩阵A可逆． ---------------------------------------------------------------------1分
且 -------------------------------------------------------------------------------------------3分
（Ⅱ）== ---------------------------------------------------------------------------4分
设直线上任意一点在矩阵对应的线性变换作用下得到，
则= ----------------------------------------------------------------------------------------------------5分
即：，从而 ------------------------------------------------------------------------------6分
代入得 即为所求的曲线方程。-------------------------------------7分
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识，考查运算求解能力，数形结合思想。满分7分
解：（Ⅰ）C的普通方程为：---------------------------------------------------------------------------3分
（Ⅱ）法一：如图,设圆心为A，原点O在圆上，
设 C与C相交于O、B，取线段OB中点C，
直线OB倾斜角为，OA=2，-----------------------------------------------4分
OC=1 从而OB=2，------------------------------5分
O、B的极坐标分别为------------------------------------7分
法二：C的直角坐标方程为：--------------------------------------4分
代入圆的普通方程后，得,即：，得：
O、B的直角坐标分别为---------------------------------------------------------------------5分
从而O、B的极坐标分别为----------------7分
（3）选修4-5：不等式选讲
本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，分类讨论思想。满分7分
解：（Ⅰ）由柯西不等式， ----------------------------------------------1分
即有，
又、、是正数，即的最大值为6，-------------------------------------2分
当且仅当，即当时取得最大值。-------------------------------------------------3分
（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）得， ------------------------------------------------------4分
即： ---------------------------------------------------------------------6分
解得：无解 或 综上，实数的取值范围为 ------------------------------------------7分

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