第四章 风险1.doc

• 第四章 风险、收益与投资者效用
• 投资者的过程与资产组合理论
• 收益的度量
• 风险的度量
• 风险态度的度量
• 投资的过程
• 投资过程主要由两部分工作组成：
• 第一部分工作是证券与市场的分析，在这一部分我们对投资者可能选择的所有投资工具的风险及期望收益的特性进行评估；
• 第二部分工作是对资产进行最优资产组合的构建，它涉及在可行的资产组合中决定最佳风险-收益机会，从可行的资产组合中选择最好的资产组合。
• 资产组合理论的三个议题
• 第一个议题是基本原则，即投资者规避风险并对风险投资要求有相应的回报；
• 在第二个议题中，我们概括并确定投资者个人在资产组合风险与期望收益之间的权衡；
• 第三个原则是，我们无法脱离资产组合，对作为资产组合一部分的资产进行单独的评估。也就是看起来有风险的也许是资产组合的稳定器。
• 收益的度量
一、持有期收益率
Ø 证券投资收益来源于两部分
• 证券价格变化带来的收益
• 持有证券而获得的现金支付
Ø 持有期收益率（Holding Period Return, HPR）

• 一般来讲，HPR是指年收益率
二、多期收益率的衡量
Ø 不同的时期投资的收益率不同，需要将每年的投资收益率进行平均或者加总，以便衡量整个投资期间的投资表现
Ø 算术平均法：
• 将各期收益率的简单算术平均值作为整个投资期的投资收益率，具体计算公式：

Ø 几何平均法
• 算术平均法得到的平均收益率只是投资者真实收益率的一个近视值，几何平均法更为准确：

三、投资组合的收益率
Ø 多个资产组成的投资组合的投资收益率
四、期望收益率
Ø 持有收益率：从事后角度，或者当投资者收益存在不确定性的时候计算出的投资收益率

Ø 期望收益率：从事前角度，对未来不确定的投资收益进行衡量，进而为投资决策提供依据

Ø 见例4.1、4.2。
• 风险的度量
一、风险的定义
Ø 从某种程度上讲，我们可以将风险视为结果的不确定性。在投资过程中，投资者可能遭遇的风险来自
• 市场风险
• 利率风险
• 汇率风险
• 通胀风险
• 财务风险
• 经营风险
• 流动性风险
二、不同资产风险的比较
Ø 我们说资产y的风险比z大，如果存在一个随机变量ε满足

更进一步，如果ε是一个非零的随机变量，那么我们就称y的风险严格比z大。
三、风险的度量
Ø 传统的风险度量方法：
• 范围法（Range）：随机变量的最大、最小值的距离
• 标准差法（Standard Deviation）：随机变量的方差或者标准差来度量风险

• 变异系数（Coefficient of Variance）：考虑了投资者在风险和收益之间的替代关系，但是这种替代关系是线性的

四、资产组合的风险
Ø 假设某一资产组合P中包含Ｎ个资产：
• 整个资产组合的收益率为

• 资产组合的方差为：

• VaR
• VaR给出了风险资产或组合在一个给定的置信区间与一定的目标水平和持有期间内，在正常市场条件下的最大损失。
• 假定w为未来组合价值，f(w)为其概率分布，在给定的置信水平c下，我们试图找到单边置信下限W*。

• 风险态度及其度量
一、投资者的风险态度与效用函数
Ø “公平赌博（Fair Game）”的概念：记 为一个公平赌博
• 则根据参与者效用函数的不同分为三类：

• 投资者的风险态度与效用函数的形状是有关系的：当且仅当u()是严格凹函数时，参与者是严格风险规避的。
• 不同风险偏好的示意图

• 彼得堡悖论
• 数学家丹尼尔·贝诺里1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时为止。在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬R的公式为  
• R(n)=2n
• 公式中的n为参加者掷硬币出现反面的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表。
• 彼得堡悖论
• 参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表
• 反面 概率 报酬 概率×报酬
• 0 1/2 1 1/2
• 1 1/4 2 1/2
• 2 1/8 4 1/2
• 3 1/16 8 1/2
• . . . .
• n (1/2)n+1 2n 1/2 
• 彼得堡悖论
• 如果n为0，他可以得到的报酬为20=1元，期望报酬为1/2；如果n为1，他可以得到的报酬为21=2元，期望报酬仍为1/2；余此类推，如果n为n，他可以得到的全部期望报酬为
• E(R)=∑Pr(n)R(n)=1/2+1/2+……=∞。
• 由于门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，这就成为了一个悖论。贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值是递减的。因此，函数log(R)给报酬为R元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。最后，他计算出风险报酬应为2元，这是参加者愿付的最高价。
二、风险规避的度量
Ø 对于绝大多是投资者，或者在绝大多数情况下，风险带给投资者的效用都是负的。因此，一般情况下，我们都假定投资者是风险规避的。

• 我们可以用两个效用的差值U3-U2，也即风险给投资者带来的效用损失，来衡量投资者者对这一风险的规避程度。
• 我们也可以用不同风险水平下，得到同样效用水平的期望收益之差a3-a2来衡量为了获取确定性的收益而愿意放弃的风险收益水平，这一指标又称为风险溢价（Risk Premium）。
Ø 风险溢价
• 一个投资者参与一个公平赌博 所要求的风险溢价水平 ，可以定义为：

• 等式表明，风险溢价 就是投资者为了避免参与某一公平赌博所愿意放弃的财富值，其中， 被称为风险赌博的确定性等价（Certainty Equivalence）
• 需要补充一点的是，上面把风险溢价定义为投资者为避免参与某一公平赌博所愿意放弃的财富值。我们也可以从另外一个角度将风险溢价定义成为了让投资者参与某一公平赌博而给他的最小的财富补偿，即：

• 显然，当 的取值非常微小的时候（对应着小风险水平的赌博），二者是近似相等的。
Ø 对风险溢价第一个定义式在w点进行Taylor展开

Ø 当取值范围非常小时，高阶无穷小也是非常微小的量。进而，我们可以得到：

Ø 从上式可以看出，小风险的风险溢价程度与两个因素有关：
• 风险水平，也即

• 比例系数，也即

• 注意到，该比例系数 取决于投资者的效用函数形式，或者说取决于投资者对待风险的态度。

• 由于， 因此该比例系数是正的。说明，风险水平越高，风险溢价程度就越大，而比例系数反映出投资者的风险规避程度。我们将该比例系数成为绝对风险规避（Absolute Risk Aversion）系数：

• 我们将该数值的倒数称为风险容忍（Risk Tolerance）系数：

• 从风险规避系数的表达式可以可出，投资者风险规避程度是其财务数量的函数。随着投资者财富的增加，风险规避程度的变化取决于投资者效用函数的具体形式。
• 以二次函数为例，假设效用是财富水平的二次函数，则容易计算得到风险规避系数为：

此时，当财富数量增加时，风险规避系数也是增加的。
• 以对数函数为例，假设效用是财富水平的对数函数，则相应的风险规避系数为：

此时，当财富数量增加时，风险规避系数是降低的。
• 以指数函数为例，假设效用是财富水平的指数函数，则相应的风险规避系数为：

这个时候财富水平的变化不会影响投资者风险规避程度。绝对风险规避系数是一个成熟。我们称这种效用函数为常数绝对风险规避（Constant Absolute Risk Aversion，CARA）函数。
Ø 相对风险规避系数（Relative Risk Aversion）
• 绝对风险规避系数：没有考虑财富水平的变化相对于投资者总财富水平的大小
• 相对风险规避系数衡量了投资者对总财富某一比例变化的规避程度。
• 假定参与者在赌博中的盈亏数量是其总财富的某一比例，参与者的风险溢价水平也是定义在总财富的基础上，数值等于，此时我们有：

• 参与者的相对风险规避系数（Relative Risk Aversion)为
容易得到：
三、风险规避的比较
Ø 利用风险溢价指标，考察同一投资者对同一风险水平的规避程度：

• 我们可以通过比较e1f1和e2f2的长度，来比较投资者在面临这两个风险时的风险规避程度。
Ø 利用风险溢价指标，考察不同投资者面临相同风险时的风险溢价程度：

• 我们可以通过比较e1d1和e2d2的长度，来比较投资者在面临这两个风险时的风险规避程度。
• 一个常用的效用函数

• 其中，U为效用值，A为投资者的风险厌恶指数，r为收益率，为收益率的标准差。