相似三角形基础训练.doc

完整版)相似三角形基础训练
《相似形》基础测试
一、选择题：
1．已知5y－4x＝0,那么(x＋y）︰（x－y）的值等于………………………………（　　)
（A)　　（B)－9　　（C）9　　（D)－

2．已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2 cm，b＝4 cm，c＝5 cm,则d等于……(　　)
(A）1 cm(B)10 cm（C） cm（D) cm．

3．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是………………………………(　　)

(A）＝　(B）＝　（C）＝　（D）＝

4．如图，在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有………（　　）

（A）1对 （B）2对　　(C）3对 （D）4对

5．已知:如图,∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有………………（　　）
（A)1对 (B）2对　　（C）3对 （D)4对

6．下列判断中,正确的是………………………………………………………………(　　）
(A）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似
(B）邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似
（C）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似
（D）邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形相似
7．如图，□ABCD中,E是AD延长线上一点，BE交AC于点F,交DC于点G，则下列结论中错误的是……………（　　)
（A）△ABE∽△DGE　　　（B)△CGB∽△DGE
（C）△BCF∽△EAF　　　（D)△ACD∽△GCF

8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝,AC＝3，则CD的长为………(　　）
(A）1　　　（B）　　　（C）2　　　（D）

9．如图，D是△ABC的边AB上一点，在条件（1）∠ACD＝∠B,（2)AC2＝AD·AB,（3)AB边上与点C距离相等的点D有两个,（4)∠B＝∠ACB中，一定使△ABC∽△ACD的个数是……………（　　）
（A）1　　　(B）2　　　（C)3　　　（D）4

10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,CD⊥AB于D,且AD︰BD＝9︰4，则AC︰BC的值为………（　　)
(A）9︰4　　　（B)9︰2　　　（C）3︰4　　　（D）3︰2

11．如图，点A1、A2，B1、B2,C1、C2分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，且ABC的周长为l，则六边形A1A2B1B2C1C2的周长为…………………………（　　）
（A）l　　　（B）3l　　　（C)2l　　　（D）l

12．如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4,则S1︰S2︰S3︰S4等于……………………………（　　）
（A)1︰2︰3︰4　（B）2︰3︰4︰5　（C）1︰3︰5︰7　（D）3︰5︰7︰9

【提示】＝（）2,＝()2． 【答案】C．
【点评】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方(即对应边上的高的比的平方）．

（二）填空题：（每题2分，共20分）
13．如果x︰y︰z＝1︰3︰5，那么＝___________．
14．已知数3、6，再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项,这个数是___________（只需填写一个数）．

15．如图，l1∥l2∥l3,BC＝3,＝2,则AB＝___________．
16．如图，已知DE∥BC，且BF∥EF＝4︰3，则AC︰AE＝__________．

17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______．

18．如图，在矩形ABCD中，E是BC中点,且DE⊥AC，则CD︰AD＝__________．

【提示】Rt△CDE∽Rt△DCA，并设AD为a，用a表示出EC和CD的长，或．
【答案】．
【点评】本题要求运用直角三角形的判定定理．

19．如图∠CAB＝∠BCD，AD＝2，BD＝4，则BC＝__________．

【提示】由△ABC∽△CBD，得BC2＝BD·AB．
【答案】2．
【点评】本题要求运用相似三角形的判定定理与性质．
20．如图,在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝12 cm,AD是∠BAC的外角平分线，
DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE＝__________cm．

【提示】∠EAD＝∠FAD＝∠ADE，
∴　ED＝AE＝AC＋CE．
再利用△ABC∽△EDC．
【答案】48．
【点评】本题要求灵活运用相似三角形的判定定理和性质．
21．如图，在△ABC中,M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么
△MON∽△AOC面积的比是____________．

【提示】利用三角形中位线定理．
【答案】1︰4．
【点评】本题要求运用相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的中位线定理．
22．如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△BGC与四边形CGFD的面积之比是_____________．

【提示】△BGC∽△FGA，推出FG＝BG，得连结FC．S△BCF＝S正方形，再列出
S△CDF与S正方形的关系式．或由△BGC∽△FGA得,所以
S△AFG＝S△BCG＝S△AGB，又　S△ACD＝S△ACB从而得出S四边形CGFD＝5S△AFG，
S△BCG＝4S△AFG．

【答案】4︰5．
【点评】本题要求运用相似三角形的基本定理与性质．
(三）计算题（每题6分，共24分）
23．如图，DE∥BC,DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm,DE＝5 cm,求线段BF的长．

【提示】先求出FC．
【答案】∵　DE∥BC，DF∥AC，
∴　四边形DECF是平行四边形．
∴　FC＝DE＝5 cm．
∵　DF∥AC，
∴　＝．
即　＝，
∴　BF＝10(cm）．
【点评】本题要求运用平行四边形判定定理和性质定理、平行线分线段成比例定理．
24．如图，已知△ABC中，AE︰EB＝1︰3，BD︰DC＝2︰1,AD与CE相交于F，求＋的值．

【提示】作EG∥BC交AD于G．
【答案】作EG∥BC交AD于G，则由＝,即＝,得
EG＝BD＝CD，
∴　＝＝．
作DH∥BC交CE于H，则DH＝BE＝AE．
∴　＝＝1,
∴　＋＝＋1＝．

【点评】本题要求灵活运用三角形一边平行线的性质定理．
25．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB？
（2）当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数．

【提示】（1）考虑AC、PD、PC、DB之间比例关系．
（2）利用相似三角形的性质“对应角相等"．
【答案】∵　∠ACP＝∠PDB＝120°，
当＝，即＝，也就是CD2＝AC·DB时，△ACP∽△PDB．
∴　∠A＝∠DPB．
∴　∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB
＝∠APC＋∠A＋∠CPD
＝∠PCD＋∠CPD
＝120°．
【点评】本题要求运用相似三角形判定定理和性质的运用．
26．如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积．

【提示】利用相似三角形的性质，列出关于ED的方程，求ED的长，即可求出S△ABC．
【答案】∵　矩形PQMN，
∴　PN∥QM，PN＝QM．∵　AD⊥BC，
∴　AE⊥PN．∵　△APN∽△ABC,
∴　＝．
设ED＝x，又　矩形周长为24，则
PN＝12－x,AD＝16＋x．
∴　＝．即　x2＋4x－32＝0．解得　x＝4．
∴　AD＝AE＋ED＝20．∴　S△ABC＝BC·AD＝100．
【点评】本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比．
（四)证明题:（每题6分，共24分）
27．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC,Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．

【提示】先证＝．
【答案】在正方形ABCD中，
∵　Q是CD的中点,∴　＝2．
∵　＝3∴　＝4．
又　BC＝2DQ，∴　＝2．
在△ADQ和△QCP中，＝,∠C＝∠D＝90°，
∴　△ADQ∽△QCP．
【点评】本题要求运用相似三角形的判定定理．
28．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E,交CF于F．求证:BP2＝PE·PF．

【提示】先证PB＝PC,再证△EPC∽△CPF．
【答案】连结PC．
∵　AB＝AC，AD是中线，∴　AD是△ABC的对称轴．
∴　PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．∵　CF∥AB，
∴　∠PFC＝∠ABP．∴　∠PCE＝∠PFC．
又　∠CPE＝∠EPC，∴　△EPG∽△CPF．
∴　＝．即　PC2＝PE·PF．∴　BP2＝PE·PF．
【点评】本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．
29．如图，BD、CE为△ABC的高，求证∠AED＝∠ACB．

【提示】先证△ABD∽△ACE，再证△ADE∽△ABC．
【答案】∵　∠ADB＝∠AEC＝90°,∠A＝∠A,
∴　△ABD∽△ACE．∴　＝．
又　∠A＝∠A，∴　△ADE∽△ABC．∴　∠AED＝∠ACB．
【点评】本题要求运用相似三角形的判定与性质．
30．已知：如图，在△ABC中,∠C＝90°,以BC为边向外作正方形BEDC,连结AE交BC于F,作FG∥BE交AB于G．
求证：FG＝FC．

【提示】证明＝．
【答案】∵　FG∥BE，∴　＝．∵　FC∥ED,∴　＝．
∴　＝．又　EB＝ED，∴　FG＝FC．
（五）解答题（8分）
31．（1）阅读下列材料,补全证明过程：
已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交
OC于点F,作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．

证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC,DC⊥BC，
∴　OE∥DC．∵　＝，∴　＝＝．∴　＝．
……
（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点(要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程)．

【提示】先证FG∥DC，再证＝或＝．
【答案】（1）补全证明过程，方法一:
∵　FG⊥BC，DC⊥BC，
∴　FG∥DC．
∴　＝＝．
∵　AB＝DC,
∴　＝．
又　FG∥AB，
∴　＝＝．
方法二:
∵　FG⊥BC，DC⊥BC,
∴　FG∥DC．
∴　＝＝．
∴　＝．
∵　E是BC的中点，
∴　＝＝＝．
∴　点G是BC的一个三等分点．
（2）如图，中点I．

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