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课程设计题目：土地拍卖模型

摘要

土地拍卖问题实质是收益最大化问题，政府的财政收益越多，社会福利也就越大。以优化建模知识为基础，我们建立了整数规划模型，运用lingo软件计算出最大收益值，得出最优拍卖方案。

假设完全是在公平公正的原则下进行的。

最大福利：
i=15Xi的最大值
目标函数：
max x1+x2+x3+x4+x5
约束条件：
x1+x2+x4<=95
x3+x4+x5<=80
x2+x5<=60
x1+x4<=82
x2+x4+x5<=90
x3+x5<=71

运用lingo软件计算得出相应的X1，X2，X3，X4，X5

把X1，X2，X3，X4，X5组合成相应的组合包，对应该成投标人1，投标人2，投标人3。得出最佳的拍卖方案。（注：每个投标人最多只能购买其中1个组合包）
模型运算后检验结果，分析模型的优缺点与发展前景。

关键字： 政府卖地 整数规划 优化建模 最大化社会福利
lingo软件

问题重述

假设某国政府准备将5块土地A,B,C,D,E对外拍卖，采用在规定日期前投标人提交投标书的方式进行，最后收到了3个投标人的投标书。每个投标人对其中的若干块土地有购买兴趣，分别以两个组合包的形式投标，但每个投标人最多只能购买其中1个组合包，投标价格如下表所示。如果政府希望最大化社会福利，这5块土地应该如何售出？
表格如下：
投标组合包
投标人1
投标人1
投标人2
投标人2
投标人3
投标人3
包含土地
ABD
CDE
BE
AD
BDE
CE
投标价格
95
80
60
82
90
71

模型假设

1、假设每个投标人确实是对自己的投标组中土地有购买兴趣。
2、假设完全是在公平公正的原则下进行的。
3、假设每个投标人对各自的投标组都很感兴趣。

符号设定

这是一个线性规划类问题，根据投标人给出的各自的两个投标组和政府出让的ABCDE五块土地。
设：
A块土地的价格是x1
B块土地的价格是x2
C块土地的价格是x3
D块土地的价格是x4
E块土地的价格是x5

问题分析

这是一个线性规划类问题，根据投标人给出的各自的两个投标组和政府出让的ABCDE五块土地，政府卖地要获得最大社会福利，即A、B、C、D、E块土地的总价最高
投标价格及组合包如下表所示

投标组合包
投标人1
投标人1
投标人2
投标人2
投标人3
投标人3
包含的土地
ABD
CDE
BE
AD
BDE
CE
投标价格
95
80
60
82
90
71

最大福利为i=15Xi的最大值

模型建立与求解

建立模型：

投标人1的投标组1
X1+x2+x4<=95
投标人1的投标组2
X3+x4+x5<=80
投标人2投标组1
X2+x5<=80
投标人2投标组2
X1+x4<=82
投标人3的投标组1
X2+x4+x5<=90
投标人3的投标组2
X3+x5<=71

最大福利
Max x1+x2+x3+x4+x5

约束条件：给个投标人只能购买两个投标组中一个投标组的土地。

综上所述，本问题完整的数学模型如下：

目标函数：
max x1+x2+x3+x4+x5

约束条件：
x1+x2+x4<=95
x3+x4+x5<=80
x2+x5<=60
x1+x4<=82
x2+x4+x5<=90
x3+x5<=71

模型求解 用Lingo软件作以下编程：

max x1+x2+x3+x4+x5
subject to
x1+x2+x4<95
x3+x4+x5<80
x2+x5<60
x1+x4<82

x2+x4+x5<90
x3+x5<71
end

运行程序得以下结果：

Global optimal solution found.
Objective value: 166.0000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost
X1 82.00000 0.000000
X2 13.00000 0.000000
X3 24.00000 0.000000
X4 0.000000 0.000000
X5 47.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 166.0000 1.000000
2 0.000000 1.000000
3 9.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 30.00000 0.000000
7 0.000000 1.000000

程序的源代码

结果

运用lingo计算结果是：
X1=82

X2=13

X3=24

X4=0

X5=47

Max=166

其中 X1+X2+X4ABD（投标人1）
X3+X5=CE（投标人3）

综上所述：
ABD土地卖给投标1的投标1 金额为95

CE土地卖给投标3的投标2 金额为71

政府得到的最大福利化为166

模型的检验：
多次运算后检验结果无误。

模型的优点：
算法简单，结构清晰，适合处理简单的数学建模问题。

模型的缺点：
没有运用集合的方式，不适合处理数据复杂的建模问题。

发展前景:
建模思想越来越受到人们的关注，涵盖的范围也越来越广，随着时代的发展，数学建模将无处不在!

参考文献：

[1] 韩中庚，数学建模方法及应用[M]，北京：高等教育出版社，2005
[2] 丁大正，Mathematica4教程[M]，北京：电子工业出版社，2002
[3] 谢金星，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社,2005
[4] 姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，2003
[5] 沈文选，数学建模导引，哈尔滨：哈尔滨工业出版社，2010
[6] 数学建模格式参考：百度文库
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