计算方法作业集答案.doc

参考答案
第一章
1 =1.7； =1.73； =1.732 。

2．

有效数字
的位数
1

四位
2

三位
3

四位
4

四位
5

六位
注：本题答案中相对误差限是用定义所求得的结果，也可以用相对误差限与有效数字的关系求得。

3． （1） 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求）
（2） 0.50517；
（3） 0.50002。

4．设有位有效数字，由»2.4494……，知的第一位有效数字=2。
令
可求得满足上述不等式的最小正整数=4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取»2.449。

5. 答：（1） ()的相对误差约是的相对误差的1/2倍；
（2） 的相对误差约是的相对误差的倍。

6． 根据
=
注意当时，，即。
则有

7．设，，
由 ，

即当有初始误差时，的绝对误差的绝对值将减小倍。而，故计算过程稳定。

8. 变形后的表达式为：
（1）=
（2）=
（3）=
=

（4）==

第二章
1．绝对误差限, 对分8次
n
隔根区间

的符号
1
[1.5，2.5]
2.0
-
2
[2.0，2.5]
2.25
-
3
[2.25，2.5]
2.375
+
4
[2.25，2.375]
2.3125
+
5
[2.25，2.3125]
2.28125
-
6
[2.28125，2.3125]
2.296875
-
7
[2.296875，2.3125]
2.3046875
+
8
[2.296875，2.3046875]
2.30078125

满足精度要求的根近似值为2.30。

2． (1) 隔根区间[0, 0.8]；
(2) 等价变形 ； 迭代公式。
(3) 收敛性论证：用局部收敛性定理论证。
(4) 迭代计算：

0
0.4

1
0.4700

2
0.4253

3
0.4541

4
0.4356

5
0.4475

6
0.4399

7
0.4448

8
0.4416

9
0.4436

10
0.4423

11

0.4432

满足要求的近似根为0.443。

3． (1) ；
(2) ；
(3) ；

4．
牛顿迭代公式为：
列表计算
n

0
0.4

1
0.47013
0.07
2
0.46559
0.005
3
0.46557
0.00002
根的近似值为0.4656。
6．
只需讨论的情形. 此时自然取. 由迭代公式有 且(算术平均数与几何平均数之间的关系)。
注意当时 . 则可证对任意迭代法收敛。

第三章
1． x1=2，x2=1，x3=1/2
2．
3． L = ， U =
y1 =14, y2 = -10, y3 = -72
x1 =1, x2 =2, x3 =3
4. x1≈-4.00, x2≈3.00, x3≈2.00
5. B的特征值为：0，0，0，ρ(B)=0<1
(E－B1)-1B2的特征值为：0，2，2，ρ[(E－B1)-1B2]=2>1.
6. x(5)=(0.4999, 1.0004, -0.4997)T
7.∣a∣>2

第四章
1.

u=u

0
1
2
3
4
5
6
( 1 , 1 , 1 )
( 4 , 2 , 4 )
( 14 , 8 , 14 )
( 50 , 28 , 50 )
( 178 , 100 , 178 )
( 634 , 356 , 634 )
( 2258 , 1268 , 2258 )
4.0000
3.5000
3.5714
3.5600
3.5618
3.5615
3.5615

相应近似特征向量为 = 2258 ， 1268 ， 2258 ） ，（ ）

第五章
1． 取=100、=121用线性插值时，»10.7143；
取=100、=121、=144用二次插值时，»10.7228。

2．选取插值节点为：=1.4、=1.51.6，»1.9447。

3．利用，并注意
当时，对，，故有

而时，，故有
，

4. ==

5. （1）用反插值法得根的近似值=0.3376；
（2）用牛顿迭代法得根的近似值=0.337667。

6. 令
可求得£0.2498（或£0.2289）。

7. (1)

(2)

第六章
1． 正规方程组为
=
，
2． 正规方程组为
=
，

3． 取对数

相应的正规方程组为
=
，

4．正规方程组为
=
，

第七章
1. 解：运用梯形公式：
误差：
运用辛浦生公式：
误差：

2. 解：（1）左矩形公式
将f(x)在a处展开，得

两边在[a,b]上积分，得

由于（x-a）在[a,b]上不变号，故有，使

从而有
（2）右矩形公式
将f(x)在b处展开，并积分，得

（3）中矩形公式
将f(x)在处展开，得

两边在[a,b]上积分，得

3. 解：（1）求积公式中含有三个待定参数A-1、A0、A1，故令求积公式对f(x)=1、x、x2准确成立，即
解得 A-1=A1=h/3, A0=4h/3
显然所求的求积公式（事实上为辛浦生公式）至少具有两次代数精确度。又有

故 具有三次代数精确度。
（2）求积公式中含有两个待定参数x1、x2，当f(x)=1时，有

故令求积公式对x、x2准确成立，即：
解得，
显然

当求积节点取x1=0.68990，x2=-0.12660或x1=-0.28990，x2=0.52660时，求积公式具有两次代数精确度。
（3）求积公式中含有一个待定参数α，当f(x)=1、x 时，有

故令求积公式对f(x)=x2成立，即：
得 α=1/12。 显然：

故具有三次代数精确度。

4. 解：函数值表格
x
1
7/6
8/6
9/6
10/6
11/6
2
f(x)
0
0.15415
0.28768
0.40547
0.51083
0.60614
0.69315
T6=1/2×1/6[0+2×(0.15415+0.28768+0.40547+0.51083+0.60614)+0.69315]≈0.38514
S3=1/6×1/3[0+4×(0.15415+0.40547+0.60614)+2×(0.28768+0.51083)+0.69315]≈0.38629

5. 解：

令，得N≥2.54.
取N=3,则至少要取2N+1=7个节点处的函数值。

6. 解：按照事后误差估计公式

计算列表如下：
k
等分2k

0
1
2
3
1
2
4
8
0.92073549
0.93979328
0.94451352
0.94569086

0.00157341
0.00039245<10-3

0.94614588
0.94608693
0.94608331

0.00000393<10-5
0.00000024
因此，由梯形公式得I≈T8=0.94569086,精确到10-3；由辛浦生公式得到I≈S2=0.94608693，精确到10-5。若取I≈S4=0.94608331，则精确到10-6。 精确到10-3的结果为 I≈0.946.

7. 解：采用极坐标系，令x=2cosq，y=sinq，则椭圆的周长为

由于，因此I有一个整数，故要求结果有四位有效数字，需截断误差≤1/2×10-3。列表计算如下：
k
等分2k

0
1
2
3
4
1
2
4
8
16
2．356194
2．419921
2．422103
2．422112
2．422112

2．441163
2．422830
2．422115
2．422112

2．421608
2．422067
2．422112

2．422074
2．422113
故取I=2.422113，周长为l =4I=9.688。

8.（1）：取h=0.1，三点公式取，得

（2）：取h=0.2， 三点公式取，得

注：精确解为。

第八章
1. 计算结果为：

2. 计算结果如下：

梯形法

欧拉预-校法

0.1

0.2

0.3

3. 计算结果如下：

（8.32）的

（8.34）的

0.1

0.2

0.3

4．计算结果如下：

四阶R-K解
（8.37）的

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

5．参照欧拉预-校格式的证明。
6. 对在，，处进行Lagrange插值，得插值多项式， 然后在区间上积分，即可得到所要结果。
7. ，，，。