高考数学总复习第九讲：怎样解填空题.doc

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高考数学总复习第九讲：怎样解填空题
考点梳理
一、题型特点
填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。
不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。
填空题与解答题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。填空题的考点少，目标集中，否则，试题的区分度差，其考试信度和效度都难以得到保证。这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因。有的可能是一窍不通，入手就错了，有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管它们的水平存在很大的差异。对于解答题，则不会出现这个情况，这是因为解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分别情况评定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度，较之填空题大得多。由此可见，填空题这种题型介于选择题与解答题这两种题型之间，而且确定是一种独立的题型，有其固有的特点。

二、考查功能
1．填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当
同选择题一样，要真正发挥好填空题的考查功能，同样要群体效应。但是，由于填空题的应答速度难以追上选择题的应答速度，因此在题量的使用上，难免又要受到制约。从这一点看，一组好的填空题虽然也能在较大的范围内考查基础知识、基本技能和基本思想方法，但在范围的大小和测试的准确性方面填空题的功能要弱于选择题。不过，在考查的深入程度方面，填空题要优于选择题。作为数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。但与解答题相比其考查的深度还是差得多。就计算和推理来说，填空题始终都是控制在低层次上的。
2．填空题的另一个考查功能，就是有效地考查阅读能力、观察和分析能力。
在高考数学考试中，由于受到考试时间和试卷篇幅的限制，在权衡各种题型的利弊和考查功能的互补时，填空题由于其特点和功能的限制，往往被放在较轻的位置上，题量不多。

三、思想方法
同选择题一样，填空题也属小题，其解题的基本原则是“小题不能大做”。解题的基本策略是：巧做。解题的基本方法一般有：直接求解法，图像法和特殊化法（特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法）等。

例题解析
一、直接求解法——直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法。它是解填空题的常用的基本方法。使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
【例1】 已知数列{an}、{bn}都是等差数列，a1=0、b1= -4，用Sk、S′k、分别表示数列{an}、{bn}的前k项和（k是正整数），若Sk+S′k =0，则ak+bk的值为 。
【解】 法一 直接应用等差数列求和公式Sk=，得+=0，又a1+b1= -4, ∴ak+bk=4。
法二 由题意可取k=2（注意：k≠1，为什么？），于是有a1+a2+b1+b2=0，因而a2+b2=4,即ak+bk=4。
【例2】 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）。
【解】 三名主力队员的排法有P33种，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上有P72种排法，故共有排法数A33A72=252种。

【例3】 如图14-1，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 （要求：把可能的图的序号都填上）。

【解】 正方体共有3 组对面，分别考察如下：（1）四边形BFD1E在左右一组面上的射影是图③。因为B点、F点在面AD1上的射影分别是A点、E点。（2）四边形BFD1E在上下及前后两组面上的射影是图②。因为D1点、E点、F点在面AC上的射影分别是D点、AD中点、BC中点；B点、E点、F点在面DC1上的射影分别是C点、DD1的中点、CC1的中点。故本题答案为②③。

【例4】 已知抛物线的焦点坐标为F(2,1)，准线方程为2x+y=0，则其顶点坐标为 。
【解】 过焦点F(2,1)作准线的垂线段，由解几何知识可得抛物线顶点为垂线段的中点。又由于准线的斜率k= -2,kOF=，∴O为垂足，从而易得OF的中点，即顶点为(1, )。

【例5】 老师给出一个函数y=f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：
甲：对于x∈R，都有f(1+x)=f(1-x) 乙：在 (-∞,0上函数递减
丙：在(0,+∞)上函数递增 丁：f(0)不是函数的最小值
如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数 。
【解】 由题意知，以甲、乙、丙、丁四个条件中任意三个为一组条件，写出符合条件的一个函数最可。例如同时具备条件甲、乙、丁的一个函数为y=(x-1)2。

【例6】 若-=1，则sin2θ的值等于 。
【解】 由-=1得sinθ-cosθ=sinθcosθ ①
令sin2θ=t，则①式两边平方整理得t2+4t-4=0，解之得t=2-2。

【例7】 已知z1=3+4i,z2= -2-5i,则arg()= 。
【解】 将z1=3+4i,z2= -2-5i代入整理得=3i，故arg()=。

【例8】 若(+)n展开式中的第5项为常数，则n= 。
【解】 由Tr+1=Cnr()n-r()r=Cnr2rx及题意可知，当r=4时，n-3r=0，∴n=12。
二、图像法——借助图形的直观形，通过数形结合的方法，迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。

【例9】 若关于x的方程=k(x-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是 。

【解】 令y1=,y2=k(x-2),由图14-3可知kAB1，(x≥5)。本题实质上可转化为考察所给直线与双曲线的右支有无交点问题，结合图形判断，易得（2）（3）直线与双曲线的右支有交点。

【例11】 点P(x,y)是曲线C：(θ为参数，0≤θ<π)上任意一点，则的取值范围是 。

【解】 曲线C的普通方程为(x+2) 2 +y2=1(y≥0)，则可视为P点与原点O连线的斜率，结合图形（14-4）判断易得的取值范围是[-，0]。

三、特殊化法——当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论。
1.特殊值法

【例12】 设a>b>1，则logab,logba,logabb的大小关系是 。
【解】 考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a=4,b=2，则logab=,logba=2,logabb=,
∴logabb研究，不难得平面SAB与平面SAC所成的二面角为arccos。

6．特殊点法
【例7】 椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是 。
【解】 设P(x,y)，则当∠F1PF2=90°时，点P的轨迹方程为x2+y2=5，由此可得点P的横坐标x=±，又当点P在x轴上时，∠F1PF2=0；点P在y轴上时，∠F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是-0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a= 。
【解】 ∵抛物线y2=a(x+1)与抛物线y2=ax具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，故可用标准方程y2=ax替换一般方程y2=a(x+1)求解，而a值不变。由通径长公式得a=4。

8．特殊模型法
【例19】 已知m,n是直线，α、β、γ是平面，给出下列是命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；
③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；
④若nα，mα且n∥β,m∥β，则α∥β；
⑤若m,n为异面直线，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,则α∥β；
则其中正确的命题是 。（把你认为正确的命题序号都填上）。
【解】 依题意可构造正方体AC1，如图14-5，在正方体中逐一判断各命题易得正确命题的是②⑤。

四、构造法——在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。
【例20】 如图14-6，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为 。
【解】 根据题意可将右图补形成一正方体，在正方体中易求得60°。

本周强化练习：

跟踪练习
1．设等差数列{an}共有3n项，它的前2n项之和是100，后2n项之和是200，则该等差数列的中间n项之和等于 。
2．设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(n=1,2,3，…)，则它的通项公式是an= 。
3．从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有 种不同的摆放方法（用数字作答）
4．将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，异面直线AB与CD所成角的大小是 。
5．抛物线x2-8x-4y+c=0 焦点在x轴上，则常数c= 。
6．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，这九个数排成三横三纵的方阵，要求每一列的三个数从前到后都是由小到大排列，则不同的排法种数是 （用数字作答）。
7．已知三棱锥的一条棱长为1，其余各棱长皆为2，则此三棱锥的体积为 。
8．已知三个不等式：
①ab>0,②-<-,③bc>ad
以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成 个正确的命题。
9．设函数f(x)的反函数为h(x)，函数g(x)的反函数为h(x+1)，已知f(2)=5,f(5)= -2,f(-2)=8，那么g(2),g(5),g(8),g(-2)中，一定能求出具体数值的是 。
10．A点是圆C：x2+y2+ax+4y-5=0上任意一点，A点关于直线x+2y-1=0的对称点也在圆C上，则实数a= 。
11．已知向量a与向量b的夹角为60°，且|a|=3,b|=2,c=3a+5b,d=ma-3b，若c与d垂直，则m的值为 。
12．某桥的桥洞呈抛物线形（如图14-7）桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为 米。（精确到0.1米）

13．以椭圆+=1的中心O为顶点，以椭圆的左准线l1为准线的抛物线与椭圆的右准线l2交于A、B两点，则|AB|的值为 。
14．已知sinαcosα=,α∈(,)，则cosα-sinα的值为 。
15．已知椭圆+=1与双曲线-=1(m,n,p,q∈{x|x是正实数集})，有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1·|PF2|= 。
16．函数y=sinxcosx+cos2x-的最小正周期是 。
17．参数方程(θ是参数)所表示的曲线的焦点坐标是 。
18．(1+x)6(1-x)4展开式中x3的系数是 。
19．已知tanα=2,tan(α-β)= -，那么tanβ= 。
20．不等式3<（）x-2的解集为 。
21．一个球自12米高的地方自由下落，触地面后的回弹高度是下落高度的，到停止在地面上为止，则球运动的路程总和是 米。
22．已知a、b、c、d是四条互不重合的直线，且c、d分别为a、b在平面α上的射影，给出下面两组四个论断：
第一组：①a⊥b,②a∥b;
第二组：③c⊥d,④c∥d。
分别从两组中各选一个论断，使一个作条件，另一个作结论，写出一个正确的命题： 。
23．函数y=f(x)的图像与y=2x的图像关于直线y=x对称，则函数y=f(4x-x2)的递增区间是 。
24．已知α=arcsin(-)，则sin的值是 。
25．过抛物线y2=4x的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O是坐标原点，则△OPQ的面积等于 。
26．一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为 （写出一个可能值）。
27．从5名礼仪小姐、4名翻译中任选5名参加一次经贸洽谈活动，其中礼仪小姐、翻译均不少于2人的概率是 。
28．定义在（-∞，+∞）上的偶函数f(x)满足：f(x+1)= -f(x)，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图像关于直线x=1对称；
③f(x)在[0，1]上是增函数；
④f(x)在[1，2]上是减函数；
⑤f(2)=f(0)。
其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。
29．求值：= 。
30．复数z1=2+i, z2=1-i,复数z=，则|z|= 。
31．已知正四棱柱的体积为定值V，则它的表面积的最小值为 。
32．已知下列曲线：

以及编号为①②③④的四个方程 ：
①-=0 ②|x|-|y|=0 ③x-|y|=0 ④|x|-y=0
请按曲线ABCD的顺序，依次写出与之相对应的方程的编号： 。
33．已知A、B、C、D为同一球面上的四点，且连接每两点间的线段长都等于2，则球心O到平面BCD的距离等于 。
34．过点M（0，4）、被圆(x-1) 2 +y2=4截得的线段为2的直线方程为 。
35．数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2·an，则数列{an}的通项公式an= 。
36．设函数f(x)=sin(ωx+)ω>0, -<<)
给出以下四个论断：
①它的图像关于直线x=对称；
②它的图像关于点(,0)对称；
③它的周期是π；
④在区间[-，0]上是增函数。
以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：
（1） ；
（2） ；
37．抛物线x=2(y-1)2-5的准线方程是 。
38．设F1，F1是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|-|PF2|=1，则tan∠F1PF2= .
39．已知tan(α+β)=,tan(β-)=，则tan(α+)的值是 。
40．如图14-9，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是一个正方形，PD垂直于底面ABC则这个四棱锥的五个面中，互相垂直的平面共有 对。

41．如图14-10，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面 。
（注：只需任意写出一个）
42．直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与准线成60°角，则直线l的方程是 。
（注：填上你认为正确的一个方程即可，不必考虑所有可能的情况）
43．若tanα=，则cos2α+3sin2α= 。
44．在平面α内有一个正三角形ABC，以BC边为轴把△ABC旋转θ角θ∈（0，），得到△A′BC，当θ= 时，△A′BC在平面α的射影是直角三角形。
45．求值：tan[arcsin(-)]= 。
46．圆心在抛物线y2=8x上，与抛物线的准线相切且过坐标原点的圆的方程为 。
47．如图14-11，四棱锥S—ABCD的四条侧棱相等，且底面是梯形，AD∥BC，AD>BC，当梯形ABCD满足条件 时，点S在底面ABCD上射影O位于梯 ABCD外边。（注：只需填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能情况）

48．给出下面4个命题：
①y=tanx在第Ⅰ象限是增函数；
②奇函数的图像一定过原点；
③f-1(x)是f(x)的反函数，如果它们的图像有交点，则交点必在直线y=x上；
④“a>b>1”是“logab<2”的充分但不必要条件。
其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上）。
49．函数y=(x≤-1)的反函数是 。

参考答案
1.75 2. 3.1800 4. 5.12 6.1680 7. 8.3 9.g(2),g(5),g(-2 )10.-10 11.2 12.2.6 13. 14. 15.m-p 16. π 17.(3,- ) 18.-8 19.12 20.{x|-290°（或∠ACD>90°）或∠BAD+∠ADB<90°，或∠ADC+∠CAD<90°) 48. ③④ 49.y=-(x≥0)

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