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导数专题
导数是研究函数的工具,从04年起,函数题就和导数题出在一起了.
导数专题主要分两部分:一是导数计算,二是导数的应用.
一、导数运算的复习建议
要选择一些与根式、分式、对数、指数、三角函数及简单复合函数的题目进行求导训练.特别是复合函数求导法,千万不要忘记对内层函数的求导,导数求不对,后面就得不到分了.所以,求导训练必须加强.在导数复习阶段,每天都要出几个求导数的训练题.
简单的导数公式还要会逆用.
例如, 由f’(x)=2x+3 f(x)=x2+3x+c, 由xf’(x)+f(x)>0[xf(x)]’>0.
1.(2004湖南) 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时，
f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0且g(-3)=0则不等式f(x) g(x)<0的解集是（ ）
A．(-3,0)∪(3,+∞) B．(-3,0)∪(0,3)
C．(-∞,-3)∪(3,+∞) D．(-∞,-3)∪(0,3)
2．f(x)是定义在（0,+∞）上的非负可导函数,且满足xf’(x)+f(x)≤0,对任意正数a、
b,若a＜b,则必有( )(07陕西理11)
A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a)

3.(2009广东卷) 已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行,且y=g(x)在x=-1处取得极小值m-1(m≠0)．设f(x)=．
⑴若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值;
⑵k(k∈R)如何取值时,函数y=f(x)-kx存在零点,并求出零点.
提示:g'(x)=2x+b,g(x)=x2+bx+c.
建议把()’=作为公式记,在遇到求二次根式的导数时,会很方便.
如y=,y’==.
二、导数应用的复习建议

在用导数研究函数方面,核心是单调性.因为求极值最值都要用到单调性.证明不等式要用单调性或最大值.研究方程零点和曲线交点时,要借助图象的走向来研究,而走向还是用单调性.所以,在复习时,要把单调性作为核心,把其它内容作为单调性的应用.
单调性的复习
单调性问题可以划分为三个难点档次
(一).求不含参的函数的单调区间
1.(05广东/9)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为
Ａ. (2,+∞) Ｂ. (-∞,2) Ｃ. (-∞,0) Ｄ. (0,2)
2.(04全国2/10)函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A． B． C． D．
3.(05全国3/22)已知函数fx)=,x∈[0,1].
⑴求f(x)的单调区间和值域;
⑵设a≥1，函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1]. 若对任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1], 使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围.
4.(07宁夏/21) 设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
⑴讨论f(x)的单调性;
⑵求f(x)在区间上的最大值和最小值．
(二).求含参的函数的单调区间
这种题主要是考察分类讨论的能力,关键是找好讨论点.如果导函数的符号等价于一个二次函数的符号,那么讨论点通常有三种:一是看有无零点,对△讨论;二是对根的大小讨论;三是对开口方向讨论.
例1 求f(x)=x3+ax2+3ax-1的单调区间.
提示: f’(x)=x2+2ax+3a
△=4a2-12a=4a(a-3).
对△讨论:
当△≤0,即0≤a≤3时f’(x)≥0恒成立, f(x)在R上增.
当△>0时,即a<0或a>3时, f’(x)=0有两不等实根x1=-a-,
x2=-a+.
f(x)在(-∞,x1)和 (x2,+∞)上增, 在(x1,x2)上减.
高考类题:
1.（2009安徽理）已知函数f(x)=x-+a(2-lnx),(a>0)，讨论f(x)的单调性.
提示:定义域 (0,+∞). f’(x)=.
f’(x)的符号等价于二次函数y=x2-ax+2,(x>0)
的符号.
对称轴x=>0,开口向上.
对△讨论.

画出导函数的图象(示意图),会帮助我们看出导数的符号.
2. (06全国1)已知函数f(x)=.
⑴设a>0，讨论y=f(x)的单调性;
⑵若对任意x∈(0,1),恒有f(x)>1，求a的取值范围.
提示:定义域(-∞,1)∪(1,+∞). f’(x)=.
f’(x)的符号等价于二次函数y=ax2+2-a,(x≠1)的符号.
对是否有零点讨论(没有一次项,可不用△).
例2求f(x)=x3-a(a+1)x2+a3x+3的单调区间.
提示: f’(x)=x2-a(a+1)x+a3=(x-a)(x-a2).
(求导后能分解的要分解)
两个根为a和a2.
以下对根的大小讨论.
高考类题:
1. (08北京/19)已知函数f(x)=，求导函数f’(x)，并确定f(x)的单调区间．
提示:定义域(-∞,1)∪(1,+∞). f’(x)=.
f’(x)的符号等价于二次函数y=-2(x-1)(x+1-b),(x≠1)的符号.
对根1和b-1的大小讨论.
2.（2009辽宁理）已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)lnx,a>1.
⑴讨论函数f(x)的单调性;
⑵证明：若a<5，则对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，有>-1.
提示:定义域 (0,+∞). f’(x)== .
f’(x)的符号等价于二次函数y= (x-1)(x+1-a),(x>0)的符号.
对根1和a-1的大小讨论.
3. (2009天津理)已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex,其中a∈R.
⑴当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
⑵当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.
提示:⑵f’(x)=[x2+(a+2)x+2a(2-a)]ex=(x+2a)(x+2-a)ex.
f’(x)的符号等价于二次函数y= (x+2a)(x+2-a)的符号.
对根-2a和a-2的大小讨论.
例3 求f(x)=ax3+x2+3a的单调区间.
提示: f’(x)=3ax2+2x =x(3ax+2).
分a<0,a=0,a>0三种情况讨论——对开口讨论.
高考类题:
(04全国卷1)已知a∈R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.
提示: f’(x)=x(ax+2)eax.
f’(x)的符号等价于函数y=x(ax+2)的符号.
分a<0,a=0,a>0三种情况讨论——对开口讨论.
(三).已知单调性,求参数或参数的范围
函数f(x)在区间[a,b]上单调递增f’(x)≥0在区间[a,b]上恒成立 f’(x)min≥0.
有不同的处理手法,通过例题说明.
例4 已知f(x)=x3-ax2+x-1.
⑴若f(x)在区间R上单调递增,求a的范围;
⑵若f(x)在区间[1,2]上单调递增,求a的范围;
⑶若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的范围;
⑷若f(x)在区间[-1,2]上单调递增,求a的范围.
提示: f’(x)=x2-2ax+1.
⑴x2-2ax+1≥0在R上恒成立△≤0;
⑵在区间[1,2]上, x2-2ax+1≥0恒成立2a≤x+在[1,2]上恒成立2a≤(x+)min=2a≤1.
注:因为x>0,所以容易分离出a(分离参数法).
⑶在区间[1,2]上, x2-2ax+1≤0恒成立( x2-2ax+1)max≤02-2a≤0且5-4a≤0a≥.
注:因为开口向上,最大值只能在端点处取得,不需要分离参数.
⑷在区间[-1,2]上, x2-2ax+1≥0恒成立,不好分离参数a. 求x2-2ax+1的最小值,要对轴讨论,比较麻烦.
此例表明,函数在某一区间上单调时,转化为不等式恒成立问题,再转化为函数最值问题.
高考类题:
1．（04全国1文科19）已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.
2．04全国2文科21）若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间(6,+∞)上为增函数，试求实数a的取值范围.
3．（04福建省理科21）已知f(x)= (x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.
⑴求实数a的值组成的集合A；
⑵设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

关于函数极值和最值的题目,也和单调性一样,分三个档次.
在各种导数题目中,和二次函数联系的最多.所以,一元二次方程、韦达定理、判别式、一元二次不等式、二次函数、数形结合、分类讨论，是导数联系最多的内容.

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