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《中位数、众数》教学案例及简析
432625 湖北省安陆市孛畈中学 周思勇 李游
教学目标分析：
认知目标：
（1）使学生认知众数、中位数的意义；
（2）会求一组数据的众数、中位数。
能力目标：
（1）让学生接触并解决一些社会生活中的问题，为学生创新学数学、用数学的情境，培养学生的数学应用意识和创新意识。
（2）在问题解决的过程中，培养学生的自主学习能力；
（3）在问题分析的过程中，培养学生的团结协作精神。
情感目标：
（1）通过多媒体网络课件，提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣；
（2）在合作学习中，学会交流，相互评价，提高学生的合作意识与能力。
1、复习旧知，加深理解
T：前面我们学习了平均数，同学们都已经知道，平均数是刻画一组数据的“平均水平”的数，即。现在请看大屏幕：
问题1 小马过河：(多媒体演示)
河边上的牌子写着平均深度为1.1m，问一批身高才1.4m的小马，能涉水过河而不出危险吗?
S1：我想有两种可能：一种是河底面起伏不大，趋于平地，小马能顺利过河；另一种情况河底面高低悬殊太多，导致河水深的太深，浅的太浅，深水超过小马
1.4m的身高，不能过河。
T：回答很好，分析全面，有理有据。
围绕“平均深度”这一概念的两个方面，即平均数可以大于部分数据，也可以小于部分数据，进一步理解了平均数的意义。
2、创设情境，引入新课
问题2 阿冲应聘虹宇公司：(多媒体演示)，
关于月工资的对话：
我的工资是1200元，在公司算中等收入←职员C
我们好几个人工资都是1100元←职员D
我公司员工的收入很高，月平均工资为2000元←经理
这个公司员工收入到底怎样呢?←阿冲
虹宇公司员工的月薪如下：
员工
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
职员F
职员G
月薪(元)
6000
4000
1700
1300
1200
1100
1100
1100
500
（1）经理是否欺骗了阿冲?
（2）平均工资2000元是否能反映公司员工的平均收入?
（3）若不能又如何反映呢?
新课伊始，力求创设一种引入入胜的教学情景，挖掘出趣味因素，最大限度地吸引学生的课堂投入，符合学生的心理特征和认识规律。“问题是数学的心脏，创新是数学的灵魂”，提出一个生活中的真实问题，揭示学生认识上的矛盾，产生新的疑点，引起学生对“平均水平”的认知冲突。
3、合作交流，探索新知
(阿冲应聘的问题，引起同学们的浓厚兴趣，有的交头接耳，有的认真演算，人人积极参与，个个勇跃发表自己的见解)，，
S2：公司经理没有欺骗阿冲，平均工资确实为2000元。
S3：不对，我认为经理欺骗了阿冲，因为2000元根本不能客观的反映工人的平均收入。
T：为什么？说说你的理由。
S3：因为经理每月6000元，副经理4000元，而剩下的7个人的工资加在一起也不过8000元，经理与职员的工资混在一起计算平均数，就把整个平均工资提高了，所以2000元根本不能客观的反映工人的平均工资。
T：说的有道理，那么你认为应该用什么工资数反映比较合理呢?
S3：去掉两位经理的工资和职员G的工资，用剩下的6个人的平均工资1250元表示比较合理。
T：去掉最高(分)，去掉最低(分)，再求平均数，这种做法我们在电视里的大奖赛中见过。
S4：我认为用职员C的工资1200元反映比较合理，比1200元高的有4人，比1200元少的也有4人，处于中间状态。
S5：我觉得还是不太合理，因为阿冲是来应聘职员，不可能是应聘经理，应该用多数职员的工资1100元来反映才合理，阿冲找工作时，首先应该了解大多数工人的工资水平，而不应该先关心公司的平均工资是多少。
T：同学们分析的很好，S4、S5的分析很有见解，用“中间位置的数据”以及用“多数职员的工资”来反映是比较合理的，这就是我们今天所要学习的内容——中位数与众数。
上述过程体现了和谐、平等、互动的课堂教学新模式。学生各自发表自己的看法，自主探索、合作交流，充分暴露知识的形成过程，让学生从数学的角度认识到：针对同一份材料，同一组数据，当人们怀着不同的目的从不同的角度进行分析时，看到的结果可能是截然不同的，得从多角度对统计数据作出较全面的分析，避免机械的、片面的解释。
4、抓住本质，形成共识
T：通过上面的讨论，哪位同学能用自己的语言阐述一下中位数与众数的概念?
S6：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数；在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
T：回答的不错，还有没有不同的意见?
S7：关于中位数，应把“处在最中间位置的一个数据”改为“处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)”
T：定义“中位数”时为什么要补充中间两个数的平均数呢?
S7：当一组数据的个数为偶数时，最中间有两个数，所以要求平均数。
T：这个同学考虑的很全面，注意到定义“中位数”时，一组数据如果有n个数，当n 为奇数时,中间位置是第个；当n为偶数时,中间位置是第，个。如有100个数据，它的中间位置是第与两个数据。数据的个数为偶数时，取最中间两个数的平均数。
新概念：不是教师直接给出，而是让学生自己通过思考总结后得出，对不完善的地方再加以补充，充分体现了学生在学习中的主体地位，使学生真正成为学习的主人。
5、适时训练，巩固概念
T：现在请同学们思考几个问题(投影)
（1）已知某班8名学生的身高分别为：(单位：米) 1.74 1.68 1.72 1.80 1.64 1.69 1.75 1.82
则这8名学生的平均身高是( )
（A） 1.60米 （B） 1.82米 （C） 1.73米 （D） 1.64米
（2）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是：
15 17 14 10 15 19 17 16 14 12
求这组数据的众数和中位数分别是多少?
（3）2003年在法国举行的第47届世界乒乓球单项锦标赛中，我国运动员顽强拼搏，取得了4金4银的好成绩。在比赛中我国一年轻运动员，在先输三局的情况下，连扳4局，反败为胜，终以4:3淘汰一外国名将，这七局球的比分依次是6:11、10:12、7:11、11:8、13:11、12:1011:6，我国这位运动员七局得分这组数据为6、10、7、11、13、12、11，其众数、中位数、平均数分别是( )
（A）6、11、11 （B）11、12、10
（C）11、11、9 （D）11、11、l()
S8：练习（1）的8名学生平均身高应为1.73米，故选（C）。(回答很快)
T：速度惊人，你是怎样算出来的?
S8：直觉告诉我1.60、1.82、1.64都是不可能的，所以要选（C）。(排除法)
T：好，方法十分简洁。
S9：练习（2），众数有三个分别是14、15、17，中位数是15。
T：一组数据竟有三个众数，没有众数的情况有吗?
S9：有，如1、2、3、4、5。
T：你能举例说明众数在生活中的应用吗?
S9：投票评选“三好学生‘，单位年终评优，商家根据商品市场销售趋势进购货物等，都是众数在生活中的具体运用。
S10：练习（3）应选答案（D）。
6、深层探讨，强化概念
T：接下来请同学们议议下面的问题：(投影)
（1）中位数与众数有什么区别和联系?
（2）在一组数据中，平均数、中位数、众数都是唯一的吗?
（3）在一组数据中，平均数、中位数、众数可能是同一个数吗?
S11：中位数是一组数据中最中间的数(或中间两数的平均数)，众数是一组数据中出现最多的数据，两个概念都反映一组数据集中的趋势。
S12：平均数是唯一的，中位数也是唯一的，众数不唯一。
T：说说你的理由吧!
S12：平均数的唯一性由求平均数的公式可以推出；中位数是唯一的，可由定义得到；众数不唯一，是因为在一组数据中，可能有几个数出现的次数是一样的，如1、1、2、2，5、5、6、6等。
T：这位同学回答的棒不棒?
S13：平均数、众数、中位数，有可能是同一个数，比如一组数据中的数都是一样的。如8、8、8这组数据中的平均数、众数、中位数都为8。
通过师生之间，生生之间的协作与交流，更加清楚几个概念之间的区别与联系，学生的知识和能力得到，进一步的完善和提高，培养了学生间的合作精神。
问题3 一个极端的例子——急中生智”：(投影)
小臭班上有30个学生，其中有两个同学的数学成绩为2分和10分，还有5名90分，22名80分，小臭得了78分，小臭在得知班平均分后，告诉妈妈说自己呈中上水平，你对此有何评价?
S14：班平均分：76<<77。小臭得78分，确实在平均分以上，据此似乎在中等以上，可小臭排名应是倒数第三，小臭给妈妈的说法我认为不准确。
学生最熟悉的莫过于考试分数问题，就此设置问题，展开讨论，极大的激发了学生学习的兴趣和探求获得成功的内在动力，课堂气氛空前活跃。
7．学以致用，激励创新
问题4 挑战性问题——假如你是一名厂长……(投影)
每周5天工作制实施后，为了改变某车间管理松散状况，准备采取每天任务定额，超产有奖的措施，提高工作效率，下面是该车间15名工人过去一天中各自装配机器的数量(单位：台)：
6，7，7，8，8，8，8，9，10，10，ll，13，15，15，16
那么应确定每人标准日产量为多少台最好?
S16：我是厂长就用平均数约等于10.7来确定，以此为标准，可以使工人生产更多的产品，厂长就可以赚更多的钱。
T：如果大家是工人的话，你们愿意吗?
S17：不愿意，因为用10.7作标准，只有5个工人能完成任务，绝大多数是不能完成的，势必影响大多数人的积极性，我认为应该用众数8来制订标准，这样照顾了大多数，少数的几个人只要努力也还是可以完成的。
S18：可分成两个层次：平均数以下的确定一个标准，超此标准少奖；平均数以上的制定另一个标准，超标准多奖(抓住超产有奖，避免消极，同时具备挑战性)。
T：同学们讲的似乎都有道理，到底用那种方法好呢?
S：我们用数据说话时，要多角度地、结合实际地进行全面分析，制定出科学的决策，有些问题考虑的角度不同，得出的结论就会不一样。本题取中位数较合适。
这是一个开放性的问题，具有较强的挑战性，要求学生会用数据从多方面进行全面分析，作出创造性的合理决策。
8、归纳小结，回顾提高
T：这节课剩下的时间不多了，哪位同学能说一说，你这堂课学到了什么?
S19：主要学习了中位数、众数的概念，还有利用这两个概念如何求一组数据的中位数和众数的问题。
T：还有没有补充的?
S20：还学了中位数、众数与平均数在我们生活中的应用，在利用数据说话时，一要结合具体问题，二要全面分析作出科学结论。
T：两位同学小结的较全面。通过这节课的学习，我们发现自己生活在一个奇异的数学世界里，你若用心以数学的眼光观察它，便会发现可运用数学规律巧妙地安排我们的生活，生活中处处有数学，生活中处处用数学。因此，我们不仅要学好数学，而且要会用好数学。
小结在回顾已学知识的基础上，渗透了数学思想，融入了数学方法，注重了学生“三基”的培养。
课后作业围绕气象资料及当时热点问题：抗击“非典”资料命题。(略)
针对本节内容，设计了生活中的实际问题来作练习，既强化了教学内容，又培养了学生分析问题、解决问题的能力。