线性代数第3章(知识梳理).doc

第三章 线性方程组
本章结构
常用方法：
1、矩阵化等价标准形
，求出矩阵的秩，则标准形
2、求矩阵的逆

3、消元法求线性方程组的解
增广矩阵行最简阶梯
4、求矩阵的秩

5、判断向量能否由向量组线性表示
以为列向量的矩阵行最简阶梯
6、求向量组的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示
以为列向量的矩阵行最简阶梯
7、用基础解系表示(非)齐次线性方程组的全部解
增广矩阵行最简阶梯
一、用消元法求解非齐次线性方程组
1、，进而求出和
2、观察和的关系：(1) ，方程组无解；(2) ，方程组有解：
①、，方程组有唯一解； ②、，方程组有无穷多个解.
3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；
4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。
定理3.1　线性方程组有解，且
当时方程组有唯一解；当，方程组有无穷多个解.
二、用消元法求解齐次线性方程组：
1、，进而求出；
2、观察：(1) ，方程组有唯一解，即只有零解；(2) ，方程组有无穷多个解，即有非零解；
3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；
4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数可得方程组的全部解。
定理3.2　　齐次方程组有非零解
推论　　当，即当方程个数小于未知元个数时，齐次线性方程组有非零解
三、维向量的概念及线性运算（看作特殊的矩阵）　书P121－123
四、向量与向量组的线性组合（向量由向量组线性表示）
对非齐次线性方程组，设，，
则线性方程组可表示，从而
.
定义3.5 （P124）　对于给定向量，如果存在一组数，使
成立，则称向量是向量组的线性组合，或称向量可由向量组线性表示。
线性组合的判别定理　　设向量，向量，则

五、向量组的线性相关性
对齐次线性方程组，设，，
则齐次线性方程组可表示为.它一定有零解，考虑其是否有非零解：

定义3.7（P128）　 对于向量组，如果存在一组不全为零的数使
成立，则称向量组线性相关；否则称向量组线性无关.
注：（1）线性无关.
（2）一个零向量线性相关；一个非零向量线性无关.
（3）包含零向量的任何向量组都是线性相关的.
（4）仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的分量对应成比例。
线性相关性的判定：设，则
总结：验证向量组的线性相关性主要有以下两种方法：
（1）、对于抽象向量组或比较特殊的向量组，可采用定义法：
设，去验证要使得等式成立，是否必须全为零；
（2）、对于具体的向量组， 以为列向量的矩阵，
将矩阵的秩与向量个数作对比
定理3.6（P131）　　如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关
推论　　线性无关的向量组的任何部分组都线性无关
定理3.7（P132）　向量组线性相关其中至少有一个向量可以由其余个向量线性表示。
定理3.8　　若有向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量可由向量组
线性表示且表示法唯一。
六、向量组间的线性组合与线性相关性(了解)
定义（P125）　设有两个向量组与，若向量组中的每一个向量都能由向量组线性表示，则称向量组能由向量组线性表示。
定义3.6（P126）　若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价。
向量组间线性关系的判定：定理3.4（P126） 若向量组可由向量组线性表示，向量组可由向量组线性表示，则向量组可由向量组线性表示。
定理3.9（P133）　设有两个向量组与 ，向量组能由向量组线性表示，如果，则向量组线性相关.
另一种说法：向量组能由向量组线性表示，且向量组线性无关，则.
推论（P134）　设向量组与向量组可以相互线性表示，且与都是线性无关的，则.
定理3.12　设有两个向量组与 ，如果向量组与等价，则

七、向量组的秩
1、极大无关组
定义　设有向量组，若在能选出个向量满足：
　　　（1）部分组线性无关；
　　　（2）向量组中任意个向量（若有的话）都线性相关
则称向量组是向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）
注：（1）一个向量组的极大无关组要满足以下几个条件：
①、向量组是向量组的一个线性无关的部分组；
②、向量组的其余向量均可由向量组线性表示
　　或　向量组与向量组等价（能够互相线性表示）　
2、向量组的秩
定义　向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩，记为
定理2 　设为矩阵，则的充分必要条件是：的列(行)秩为.
推论1　 矩阵的行秩等于列秩
求一个向量组的极大无关组或秩，并将其余向量用此极大无关组线性表示的方法
由该向量组构造矩阵，要求各向量作为的列向量，并将该矩阵化为行最简阶梯形矩阵，则非零行的行数即为向量组的秩，非零首元所在的列对应的列向量组成一个极大无关组，其余列向量的各分量即为由极大无关组线性表示的系数.
八、线性方程组解的结构
1、齐次线性方程组解的性质
（1）如果是方程组的两个解，则也是它的解；
（2）如果是方程组的解，为常数，则也是它的解；
（3）如果是方程组的解，则其线性组合也是它的解。
基础解系：解向量组的一个极大无关组（解+线性无关+其它解可由它们线性表示）；
基础解系的向量个数＝；
基础解系的线性组合表示齐次线性方程组的一个解（向量）.
2、用基础解系表示齐次线性方程组的全部解的步骤：
（1）、将其系数矩阵通过初等行变换化为简化的阶梯形矩阵（化为阶梯形+回代），并判断方程组是否有非零解；
（2）、在有非零解的情况下，写出与原方程组同解的方程组，并注明自由未知量；
（3）、
（4）、，
3、非齐次线性方程组解的结构
（1）如果是非齐次方程组的一个解， 是其导出组的一个解，则是的解；
（2）如果是非齐次方程组的两个解，则是其导出组的解.
定理　如果是非齐次方程组的一个解， 是其导出组的全部解，则是的全部解.
4、用基础解系表示非齐次线性方程组的全部解的步骤：
（1）、将其增广矩阵通过初等行变换化为行最简阶梯形矩阵，并判断方程组是否有解；
（2）、在有解的情况下，写出与原方程组同解的方程组，并注明自由未知量；
（3）让自由未知量向量取值，得方程组的一个特解；
（4）、写出与原方程组的导出组（对应的齐次线性方程组）同解的方程组，让自由未知量
　　　得到导出组的基础解系；
（5）、，.
要点：
1、（非）齐次线性方程组的消元解法
例：书P116－119例2－例4；P120例5
2、（非）齐次线性方程组解的情况的充分必要条件
例：P164第1、2、3题
3、向量与向量组的线性组合的定义、与非齐次线性方程组是否有解的关系、判定
例：书P124－125例2－例5；　P159第7题；　P164第4题
4、向量组线性相关、线性无关的定义、与齐次线性方程组是否有非零解的关系、判定及相关定理
例：书P129－131，例1－例6；　P160第10、13、14题；　P164－166第4－9题
5、向量组的极大无关组、秩的概念，求向量组的一个极大无关组与秩，及将其它向量用该极大无关组线性表示　　
例：P138例1方法一；　P161第17题；　P165－166第10－14题
6、基础解系的定义、向量个数、线性组合
　 例：书P166－167第18、19题
7、(非)齐次线性方程组解的结构，用基础解系表示（非）齐次线性方程组的全部解　　
例：书P144例1、2；　P148例4；　P161第20、23－25题；　P166第16题

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