广州市第一中学高三数学第二轮复习专题——圆锥曲线.doc

广州市第一中学高三数学第二轮复习专题——《圆锥曲线》
（一）典型例题讲解: 高考资源网
例1、过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程
命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强
知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题
错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键
技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二，用韦达定理
解法一 由e=,得,从而a2=2b2,c=b
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,
设AB中点为(x0,y0),则kAB=－,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－=－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

由点(1,1－b)在椭圆上得1+2(1－b)2=2b2,b2=
∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1
解法二 由e=,从而a2=2b2,c=b
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),
将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－
直线l y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=－1
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一
例2、已知双曲线C 2x2－y2=2与点P(1，2)
(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点
(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在
命题意图 第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题 第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“点差法”
知识依托 二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式
错解分析 第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论 第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了
技巧与方法 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化
解 (1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*)
(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点
(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)
①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程()有一个实根，l与C有一个交点
②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点
③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点
综上知 当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点
(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得 2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB==2
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在
例3、如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标；
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围
命题意图 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强
知识依托 椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法
错解分析 第三问在表达出“k=y0”时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中变量间的关系
技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围
解 (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3 故椭圆方程为=1
(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2ByB|= 因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得
(－x1)+(－x2)=2×,由此得出 x1+x2=8
设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4
(3)解法一 由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上 得
①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,
即9×=0(x1≠x2)
将 (k≠0)
代入上式，得9×4+25y0(－)=0 (k≠0) 即k=y0(当k=0时也成立)
由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,
所以m=y0－4k=y0－y0=－y0
由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，
得－＜y0＜,所以－＜m＜
解法二 因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为
y－y0=－(x－4)(k≠0) ③
将③代入椭圆方程=1,得(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0
所以x1+x2==8,解得k=y0 (当k=0时也成立)
(以下同解法一)
例4、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程
知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程
错解分析 欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题
技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程
解 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，
AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动
设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0
整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
（二）巩固练习
一，选择题
1．椭圆的焦距是它的两条准线间距离的，则它的离心率为（　　）
A．　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　D.　
2．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．设定点M（3，）与抛物线y2=2x上的点P的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1+d2取最小值时，P点的坐标为（　　）
A.　（0,0）　　　B.　（1，）　　　C.　（2,2）　　　D.　（）
4．抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P（m,－3）到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是（　　）
A.　y=4　　　　B.　y=－4　　　　C.　y=2　　　　D.　y=－2
5．设F（c,0）为椭圆的右焦点，椭圆上的点与点F的距离的最大值为M最小值为m，则椭圆上与F点的距离是的点是（　　）
A.（）　　B.（0，）　　C.（）　　D.以上都不对
6 . 已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于 ( )
A. B. C. 2 D. 4
7．斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )
A 2 B C D
8 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线
9.P为椭圆上的动点，过点P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10. 设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )
A B
C D
11.P是抛物线上的动点，点A（0,-1），点M在直线PA上且分PA所成的比为2：1，则点M的轨迹方程是（ ）
（A） （B） （C） （D）

12.已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足
＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为 ( )
A.　　　B.　　　C.　　　D.
二，填空题
13. 直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________
14. 在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________
15. A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=,则椭圆离心率的范围是_________
16. 已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________
17 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________

18.已知点，动点满足，则动点P的轨迹方程是______
三，解答题
19、设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率.已知点到这
个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.

20、已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点
（I）求双曲线的方程；
(II)动直线经过的重心与双曲线交于不同的两点，问是否存在
直线使平分线段。试证明你的结论。

21、已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=,椭圆C2的方程为=1(a＞b＞
0)，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程

22、如图，弧为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围

23、已知椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，
∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R
(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
(2)设点R形成的曲线为C，直线l y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值

24、如图，已知点，直线，为平面上的动点， 过作直线的垂线，垂足为点，且．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，
O
y
x
1

l
F
已知，，求的值；

解答
一. 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
C
B
C
C
A
B
C
A
B
二. 填空题
13. =1 14. 8x－y－15=0　
15. ＜e＜1　； 16. (－∞,－3∪1,+∞)　　
17. 4x2+4y2－85x+100=0 18. 　

三. 解答题
19、 解:设椭圆方程为, 为椭圆上的点,由得

若,则当时最大,即, ,故矛盾.
若时,时,
所求方程为
20、解（I）设所求的双曲线方程为且双曲线经过点，所以所求所求的双曲线方程为。
(II)由条件的坐标分别为，点坐标为
假设存在直线使平分线段设的坐标分别为
得

又即
的方程为 由
消去整理得所求直线不存在。
21、 解 由e=,可设椭圆方程为=1,
又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,
又=1,两式相减，得=0,
即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0 化简得=－1,故直线AB的方程为y=－x+3,
代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0 有Δ=24b2－72＞0,
又|AB|=,
得，解得b2=8
故所求椭圆方程为=1
22、解 (1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系， ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4
∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1
∴曲线C的方程为+y2=1
(2)设直线l的方程为y=kx+2，代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0
Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞ 由图可知=λ
由韦达定理得
将x1=λx2代入得
，两式相除得

①
M在D、N中间，∴λ＜1 ②
又∵当k不存在时，显然λ= (此时直线l与y轴重合)

23、 解 (1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，
∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|
又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0)
|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2
又 得x1=2x0－c,y1=2y0 ∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2
故R的轨迹方程为 x2+y2=a2(y≠0)
(2)如右图，∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB
当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2
此时弦心距|OC|=
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，

24、解：（Ⅰ）设点，则，由得：
，化简得．
P
B
Q
M
F
O
A
x
y

（Ⅱ）设直线的方程为： ．
设，，又，
联立方程组，消去得：
，，故
由，得： ，，整理得： ，，
．
高考资源网