散型随机变量的分布列、期望、方差.doc

10年高考数学第一轮复习资料 散型随机变量的分布列、期望、方差

一、知识与方法：
1．离散型随机变量的分布列：

……

……

性质：；且________ 。
2．离散型随机变量的数学期望：______________，它反映随机变量取值的平均水平。
3．离散型随机变量的方差：______________________，反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度：越小，取值越集中，越大，取值越分散。
4．的算术平均数叫做随机变量的标准差，记作。
5．性质：_________；__________。
6．提示：（1）在实际中经常用期望来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度；（2）注意离散型随机变量的期望、方差与样本数据的平均数、方差的联系。
二、例题分析：
例1．甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件.
（1）求取得的4个元件均为正品的概率；（2）取得正品元件个数的数学期望.
解：（1）从甲盒中取两个正品的概率；
从乙盒中取两个正品的概率为。
故取得的4个元件均为正品的概率。
（2）取得正品元件个数的分布列为

0
1
2
3

4

例2 ．、两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中队胜的概率为，设各场比赛的胜负相互独立.
（1）求队夺冠的概率；（2）设随机变量表示比赛结束时的场数，求.
（1）队连胜3场的概率为，打4场胜3场的概率为，
打5场胜3场的概率为
故队获胜的概率为，
（2）；；
；故的分布列为（略）

三、练习题：
1．已知随机变量的分布列如下，则_；___；_____。

0
1
2

2．随机变量的分布列为，其中1、2、3、4、5、6，则 为_______，______。，
3．从签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签中，任意取3支，设为这3支签的号码之中最大的一个。则的的数学期望为________。
4．某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.
（1）求第一天通过检查的概率；（2）求前两天全部通过检查的概率；
（3）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.
解：（1）∵第一天有9件正品，故第一天通过检查的概率为
（2）第一天有8件正品，第二天通过检查的概率为，又第一天，第二天是否通过检查相互独立。所以，两天全部通过检查的概率为
（3）记得分为，则的值分别为0，1，2，
，；
故的分布列为（略），因此
5．两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，较强队每局取胜的概率为，设比赛结束时的局数为，求.
（计算结果保留三个有效数字）
解：比赛结束时的局数为的取值为，，.
，

的概率分布为（略）故 =3×0.2800+4×0.3744+5×0.3456 = 4.0656.
6．甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投次，甲先投，若有人
投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为
（1）乙投篮次数不超过次的概率；
1.3.5
（2）记甲、乙两人投篮次数和为，求的分布列和数学期望.
解：（1）“乙投篮次数不超过次”的对立事件是“乙投篮次”，所以，所求的概率是
=
（2）甲、乙投篮总次数的取值，，，，则，
，
1.3.5
，
。
的分布列（略），数学期望为。
7．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为。
（1）求该题被乙独立解出的概率。（2）求解出该题的人数的数学期望和方差。
解：（1）记甲独立解出此题的事件为、乙独立解出此题的事件为，则，
依题意得，即……，解得，
（2），。
8．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生只选修
甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门的概率是，用表
示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
（1）设事件 表示“函数为偶函数”，求事件的概率；
（2）求的分布列和数学期望.
解：（1）设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为、、
依题意得，即…… ，解得，
若函数为偶函数，则=0，
故事件表示该学生选修三门功课或三门功课都没选
∴，
（2）的数学期望为。
9．某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.
（1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；
（2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，求该小组没有
参加过天文研究性学习活动的同学个数数学期望.
解：（1）记“随机选2个同学，恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动”为事件，
其概率为
（2），，
∴ 。
10．旅游公司为个旅游团提供条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（1）求个旅游团选择条不同的线路的概率；（2）求恰有条线路没有被选择的概率；
（3）求选择甲线路旅游团数的期望.
解：（1）个旅游团选择条不同的线路的概率为；
（2）恰有两条线路没有被选择的概率为；
（3）设选择甲线路旅游团数为，则的取值为，，，，
，，
， ，
∴ 的分布列为（略），期望
11．甲盒有标号分别为、、的三个红球；乙盒有标号分别为、、…、的个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取到红球号、黑球号的概率为。
（1）求；
（2）现从甲、乙两盒各随机抽取个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，则得分为，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的个小球得分之和为，求的数学期望.
解：（1）由，得，
（2）是被抽取的个小球得分之和，则的取值为、、、，
则有， ，
，
概率分布表（略），故，
12．一个口袋中装有大小相同的个白球和个黑球，每次从袋中任意摸出一个球。
（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.
解：（1）“有放回摸取”可看作独立重复实验，每次摸出一球得白球的概率为，
记“有放回摸两次，颜色不同”为事件，其概率为；
（2）设摸得白球的个数为，则的取值为、、，
，，，
的概率分布表（略），，
，
13．在一个盒子里放有张卡片，上面标有数字、、、、、，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.
（1）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于的概率；
（2）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大
数字的期望值是否相等？请说明理由.
解：（1）取到的两张卡片上数字之积大于的事件的概率.
（2）若每次取出后不再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字随机变量的
取值为、、、、，
则，，，
，，的概率分布表（略），
∴
若每次取出后再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字是随机变量的取值
为、、、、、.则，，，，，，的分布列（略）
∴ 。
∴ 在每次取出后再放回和每次取出后不再取回这两种取法中，得到的两张卡上的数字中最大数字的期望值不相等.
14．袋中装着标有数字、、、、的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，求：
（1）取出的个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量的数学期望。
解：（1）记 “一次取出的个小球上的数字互不相同”的事件，则；
（2）由题意得，有可能的取值为：、、、.
，
20070212
，
所以随机变量的概率分布为（略）
因此的数学期望为
15．编号、、的三位学生随意入坐编号为、、的三个座位，每位学生坐一
个座位，设与座位编号相同的学生的个数是，求随机变量的数学期望和方差.
解：与座位编号相同的学生的个数的取值为、、，
，，。
概率分布列为（略），故，

20070515
16．有编号为、、…、的个学生，入座编号为、、…、的个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知时，共有6种做法，（1）求的值；（2）求随机变量的数学期望.
解： 当时，有种坐法，由，即，
，解得，或（舍去）．
．
（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为的取值是、、、，
则， ，
，，
的概率分布列为（略），．
17．、两点之间有六条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为，，，，，.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.
（1）设选取的三条网线由到可通过的信息总量为，当时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；

（2）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
解：（1）由，得
；
（2）由，得，
由，得，
由，得，
线路信息畅通的概率；
（2）由，得，由，得，
∴ 选取的三条网线可通过信息总量的分布列（略），
∴ 。
18．如图所示，质点在正方形的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个、两个、两个一共六个数字. 质点从点出发，规则如下：当正方体玩具的上底面出现的数字是，质点前进一步（如由到）；当正方体玩具的上底面出现的数字是，质点前两步（如由到），当正方体玩具的上底面出现的数字是，质点前进三步（如由到）. 在质点转一圈之前连续投掷，若质点恰好转一圈或超过一圈，则投掷终止.
（1）求点恰好返回到点的概率；
C
D
A
B
（2）在点转一圈恰好能返回到点的所有结果中，用随机
变量表示点恰能返回到点的投掷次数，求。
解：（1）投掷一次正方体玩具，，，每个数字在正方体
玩具的上底面的出现都是等可能的，其概率，
因为只投掷一次不可能返回到点；
若投掷两次点就恰好能返回到点，两次投掷则上底面出现的两个数字应依次为、、三种结果，其概率为，
若投掷三次点恰能返回到点，则上底面出现的三个数字应依次为：、、三种结果，其概率为，
若投掷四次点恰能返回到点，则上底面出现的四个数字应依次为
其概率为，
∴ 点恰好返回到点的概率为；
（2）在点转一圈恰能返回到点的所有结果共有以上问题中的种，，
，，故的分布列（略），。

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