1、中国地质大学（北京）继续教育学院 2012年09课程考试
《高等数学一》模拟题（开卷）
一． 填空题
1． 2 ，
2． ，
3．已知, 则 2 ，
4．函数的单调减区间为 ，
5．微分方程 的通解是 ，
6． ，
7． ，
8． 。
二．单项选择题
1．设, 则的定义域是（ B ）。
A．[ 0 , 4 ]
2、 B．[ -2 , 2 ] C．[ 0 , 2 ] D．[ 1 , 3 ]
2．设在上连续，则的值为（ D ）。
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．对于函数，下面叙述正确的是（ B ）。
A．函数连续且一阶导数也连续 B．函数连续但一阶导数不连续
C．函数不连续但一阶导数连续 D．函数不连续且一阶导数也不连续
4．设是的一个原函数，则有下面成立的是（ C ）。
A． B．
C． D．
3、5．微分方程的 阶 数 为（ B ）。
A．0 B．1 C．2 D．3
6．函数的定义域是（ A ）。
A （-1 , 1 ] B [ -1 , 1 ] C （-1 , 2 ] D [-1 , 2 ]
7．当时，是的（ D ）。
A．低阶无穷小 B．等阶无穷小 C．同阶但不等阶无穷小 D．高阶无穷小
8．函数在点（ D ）。
A．连续且可导 B．连续但不可导 C．不连续但可导 D．不连续且不可导
4、9．设是的一个原函数，则有下面成立的是（ C ）。
A． B．
C． D．
10．下列那一项不是常微分方程（ A ）。
A． B．
C． D．
三．计算题
1．
解： ==
==
2．设，求
解：=
=
=
=
3．
解：， 所以
==
=
4．
解： 令，那么， ， 且，，故
==22
5、 2()=2
5．
解： ==
===
6．设，求
解：==
=
=
7．
解：=
=
=
8．求微分方程的通解。
解：这是变量分离方程，变量分离，
两边积分，有，即为原方程的通解。
四．应用题
1．已知曲线满足方程，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。
解：在方程两边关于x求导， 有
所以 ， 曲线在(0，0)处的切线的斜率，故
切线方程为。
2．计算抛物线与直线所围成的图形的面积。
解：抛物线与直线相交于点(2,-2,), (8,4), 如图所示。选取y为积分变量， 那么
。
3．
6、已知曲线满足方程，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。
解：在方程两边关于x求导， 有
所以 ， 曲线在(0，0)处的切线的斜率，故
切线方程为。
4．计算抛物线与所围成的图形的面积。
解：两抛物线与直线相交于点(0,0,), (1,1)。选取x为积分变量， 那么
==。
五． 证明题
1．
解：解法一：利用中值定理。考虑函数，显然函数在上满足拉格朗日中值定理，所以存在， 使得
即，因为， 所以成立。
解法二：利用函数的单调性。 考虑函数， 那么
当，所以单调递增。从而
。命题得证。
2. 当时，.
解：解法一：利用中值定理。考虑函数，显然函数在上满足拉格朗日中值定理，所以存在， 使得
即，因为， 所以当时，成立。
解法二：利用函数的单调性。 考虑函数， 那么
当，所以单调递增。从而
。命题得证。
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