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时间序列回归
本章讨论含有ARMA项的单方程回归方法，这种方法对于分析时间序列数据（检验序列相关性，估计ARMA模型，使用分布多重滞后，非平稳时间序列的单位根检验）是很重要的。
§13.1序列相关理论
时间序列回归中的一个普遍现象是：残差和它自己的滞后值有关。这种相关性违背了回归理论的标准假设：干扰项互不相关。与序列相关相联系的主要问题有：
一、一阶自回归模型
最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)模型
定义如下：

参数是一阶序列相关系数，实际上，AR(1)模型是将以前观测值的残差包含到现观测值的回归模型中。
二、高阶自回归模型：
更为一般，带有p阶自回归的回归，AR(p)误差由下式给出：

AR(p)的自回归将渐渐衰减至零，同时高于p阶的偏自相关也是零。
§13.2 检验序列相关
在使用估计方程进行统计推断（如假设检验和预测）之前，一般应检验残差（序列相关的证据），Eviews提供了几种方法来检验当前序列相关。
1．Dubin-Waston统计量 D-W统计量用于检验一阶序列相关。
2．相关图和Q-统计量 计算相关图和Q-统计量的细节见第七章
3．序列相关LM检验 检验的原假设是：至给定阶数，残差不具有序列相关。
§13.3 估计含AR项的模型
随机误差项存在序列相关说明模型定义存在严重问题。特别的，应注意使用OLS得出的过分限制的定义。有时，在回归方程中添加不应被排除的变量会消除序列相关。
1．一阶序列相关
在EViews中估计一AR(1)模型，选择Quick/Estimate Equation打开一个方程，用列表法输入方程后，最后将AR(1)项加到列表中。例如：估计一个带有AR(1)误差的简单消费函数

应定义方程为： cs c gdp ar(1)
2．高阶序列相关
估计高阶AR模型稍稍复杂些，为估计AR(k)，应输入模型的定义和所包括的各阶AR值。如果想估计一个有1-5阶自回归的模型

应输入： cs c gdp ar(1) ar(2) ar(3) ar(4) ar(5)
3．存在序列相关的非线性模型
EViews可以估计带有AR误差项的非线性回归模型。例如：
估计如下的带有附加AR(2)误差的非线性方程

使用EViews表达式定义模型，在后面的方括号内描述AR修正项，对每一阶AR滞后项都应包括一个系数每项之间用逗号隔开。
cs=c(1)+gdp∧c(2)+[ar(1)=c(3),ar(2)=c(4)]
EViews通过差分来转换这种非线性模型且使用Gauss-Newton迭代法来估计转换后的非线性模型。
4．存在序列相关的两阶段回归模型
通过把二阶段最小二乘法或二阶段非线性最小二乘法和AR项结合起来，对于在回归因子和扰动项存在相关性的情况和残差存在序列相关一样估计模型。
5．AR估计输出
含有AR项的模型有两种残差：第一种是无条件残差 ，
通过原始变量以及估计参数算出。在用同期信息对yt值进行预测时，这些残差是可以观测出的误差，但要忽略滞后残差中包含的信息。
通常除非有特别的原因来检验这些残差，Eviews不能自动计算下面的估计。
第二种残差是估计的一期向前预测误差。如名所示，这种残差代表预测误差。
一般AR(p)平稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。EViews在回归输出的底部给出这些根：Inverted AR Roots。如果存在虚根，根的模应该小于1。
6．EViews如何估计AR模型
EViews估计AR模型采用非线性回归方法。这种方法的优点在于：易被理解，应用广泛，易被扩展为非线性定义的模型。注意：非线性最小二乘估计渐进等于极大似然估计且渐进有效。
§13.4 ARIMA理论
ARIMA（自回归单整动平均）模型是AR模型的一般化，EViews使用三种工具来为干扰项的序列相关建模：自回归AR、单整I、动平均MA。
§13.5 估计ARIMA模型
为建立ARIMA模型，需要：① 差分因变量，确定差分阶数；② 描述结构回归模型（因变量和回归因子），加入AR或MA项。
一、 ARMA项 模型中AR和MA部分应使用关键词ar和ma定义。
二、季节ARMA项 对于带有季节移动的季度数据，Box and Jenkins(1976)建议使用季节自回归SAR和季节动平均SMA。
三、ARIMA估计输出 存在AR或MA定义的估计输出和OLS是一样的，只是增加了一个AR，MA多项式的倒根的下部程序块。
四、ARMA估计选择 带有AR或MA的模型用非线性最小二乘法估计。非线性估计方法对所有系数估计都要求初值。作为缺省Eviews决定初值。用户可设置初值，EViews使用C系数向量。也可使用命令安排C向量值定义，例如下面方程的系数
Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1)
可定义为 param c(1) 50 c(2 ) 0.8 c(3) 0.2 c(4) 0.6 c(5) 0.1 c(6) 0.5
初值：常数是50， X系数的初值是0.8， ar(1)、ma(2)、ma(1)、sma(4) 系数的初值分别是0.2 ， 0.6，0.1，0.5。
§13.6 诊断检验
如果ARMA模型定义正确，模型残差将为白噪声。这意味着残差中应不存在序列相关。D-W统计量是当方程右边没有滞后变量时对一阶序列相关的检验。如上所述，对残差中序列相关更多的检验可以如：View/Residual Tests/Correlogram-Q-Statistic和View/Residual Tests/Serial correlation LM Test。
§13.7 多项分布滞后（PDLs）
一个分布滞后算子如下
（13.37）
系数描述x对y作用的滞后。在模型中解释变量与随机误差项不相关的情况下，可以直接使用OLS估计参数。在其它情形下，x的当前和滞后值具有高共线性时，直接估计失败。
可以使用多项式分布滞后（PDLS）来减少要估计的参数个数，以此来平滑滞后系数。平滑就是要求系数服从一个相对低阶的多项式。P阶PDLS模型限制系数服从如下形式的p阶多项式
j = 0 , 1 , 2 , … , k （13.38）
是事先定义常数：

PDLS有时被称为Almon分布滞后模型。常数仅用来避免共线性引起的数值问题，不影响的估计。这种定义允许仅使用参数p来估计一个x 的k阶滞后的模型（如果p > k，将显示“近似奇异“错误信息）。
如果定义一个PDL模型，EViews用(13.38)式代入到(13.37)式，将产生如下形式方程
(13.40)
其中
(13.41)
一旦从（13.40）式估计，利用（13.38）式就可得到的各系数。这一过程很明了，因为是的线性变换。定义一个PDLs有三个元素：滞后长度k，多项式阶数（多项式最高次幂数）p和附加的约束。
§13.8 非平稳时间序列
上述ARMA估计理论都是基于平稳时间序列。如果一个序列的均值和自协方差不依赖于时间，就说它是平稳的。非平稳序列的典型例子是随机游动 ，是平稳随机扰动项。序列y有一个常数预测值，方差随时间增长。随机游动是差分平稳序列，因为y一阶差分后平稳。，差分平稳序列称为单整，记为I(d)，d为单整阶数。单整阶数是序列中单位根数，或者是使序列平稳而差分的阶数。对于上面的随机游动，有一个单位根，所以是I(1)，同样，平稳序列是I(0)。
§13.9 单位根检验
EViews提供两种单位根检验：Dickey-Fuller(DF)、增广DF(ADF)检验和Phillips-Perron（PP）检验。
一、ADF检验
为说明ADF检验的使用，先考虑一个AR(1)过程
（13.46）
是参数，假设为白噪声。如果-1<<1，y平稳序列。如果=1，y是非平稳序列（带漂移的随机游动）。如果这一过程在一些点开始，y的方差随时间增长趋于无穷。如果的绝对值大于1，序列发散。因此，一个序列是否平稳，可以检验是否严格小于1。DF和PP都用单位根作为原假设。 因为发散序列没有经济学含义，所以备选假设为单边假设。
从方程两边同时减去

其中 （13.47）
所以原假设和备选假设可改为 （13.48）
单位根检验可以看作对进行t检验。EViews将DF，ADF检验都看成为ADF检验。ADF检验考虑如下三种回归形式：

即通过在模型中增加的滞后项，以消除残差的序列相关性。在检验回归中包括常数，常数和线性趋势，或二者都不包含。
二、Phillips-Perron(PP)检验
Phillips和Perron（1988）提出一种非参数方法来控制序列中高阶序列相关。对AR(1)的PP检验为：
（13.51）
ADF检验通过在方程右边添加滞后差分项来修正高阶序列相关。PP检验参数的t统计量来修正AR(1)的序列相关。这种修正方法是非参数的，因为我们使用在零频率的谱估计。零频率对未知形式的异方差性和自相关性较稳健。EViews使用Newey-West异方差自相关一致估计
（13.52）
（13.53）
q是截断滞后值。PP统计量由下式计算：
（13.54）
是t统计量；是的标准差；s是检验回归标准差。PP统计量渐进分布同ADF的t统计量一样。EViews显示Mackinnon临界值。对PP检验，必须为Newey-West纠正定义截断滞后因子q，即要包括的序列相关期数。对话框开始包括N-W自动截断滞后选择（floor函数返回的是不超过括号中数的最大整数）

这仅基于检验回归中使用的观测值数，也可定义为任何整数。
§13.10 命 令
命令equation eq_gdp.ls gdp c ar(1) ar (2) ma(1) ma(2)用来用一个arma(2,2)模型拟和序列GDP并把结果储存在方程 EQ_GDP中。
命令 eq1.auto(4) 用来检验方程EQ!残差序列直到四阶的相关系数。
命令eq1.correlogram(12)用来显示方程直到12阶的残差相关图。
命令equation eq2.ls gdp c pdl(m1,12,3) 使用一个三次多项式拟和m1直到十二阶的值。
命令gdp.ruoot(4, c)用来运行一个带常数和四阶滞后的ADF检验。
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