数学建模 交巡警服务平台的设置与调度1.doc

2010年南昌工程学院数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了南昌工程学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员 (打印并签名) ：1.
2.
3.

日期： 年 月 日

银行营业网点布局的优化设计
【摘要】
零售银行业务的重要性日益提高是当今国际领先银行业务发展的一个显著特征。许多大型银行集团的零售业务收入对总收入的贡献率都在60% 以上。中国的零售银行业务和国外其他市场相比较发展相对不足，零售业务发展空间较大。由于零售业务具有利润率高、不良贷款比例低、风险分散、违约风险小等特点，零售银行业务已经列入国内商业银行的重点发展业务。

关键字：银行 排队问题 顾客 泊松分布 等待时间 服务时间 银行服务系统 排队论 顾客满意度 服务时间 排队系统 平均服务率 排队等待时间 平均等待时间 平均到达率 多服务台

【问题提出】
经过数据考察和分析，得出影响银行网点设置的主要因素有：顾客数量、排队等候情况、银行服务时间、服务效率、经济发展程度、网点如何布局，针对以上以上因素，我们将采取以下最优的银行布局网点模型。

1、 基本假设
按顾客数量、银行服务的时间和效率、城镇居民分布、网点本身运行成本以及网点辐射范围，考虑其他因数如交通发达程度、营业场所分布紧密程度、以及特殊时节、排队规则等不确定因数的影响（因素从大到小依次列出）

2、 基本框架的构建以及影响因素的合成图
网点布局分配

顾客
数量
排队等候情况
银行服务时间
排队规则
营业场所分布紧密程度
网点辐射范围
网点本身运行成本
城镇居民分布
排队等待时间为5——9分钟

2、符号的说明
数学模型就是把实际问题中各因素及其之间的关系用数学形式表示出来，将银行排队问题建立数学模型就是把排队问题中的各个变量符号化，并对问题的基本结构模型化。从前面的分析知，银行的排队问题的基本数学模型可表示为M|M|C模型。
M|M|C模型表示输入过程（顾客到达）为泊松输入、服务时间服从负指数分布、共有C个服务窗口的排队系统模型。
Ls：表示系统中的顾客数，包括排队等候的和正在接受服务的所有顾客（也称为平均队长）；
Lq：表示系统中排队等候的顾客数（称为平均队列长）
Tq：表示顾客在系统中的平均等待时间(即平均排队等待时间)；
Ts ： 表示顾客在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务时间)；
λ ：表示顾客的平均到达率（称为顾客到达速率）；
μ ：表示系统的平均服务率（即服务台的平均服务速率）；
ρ ：表示服务强度,其值为有效的平均到达率λ与平均服
务率μ 之比, 即ρ =λ/μ。

（二）银行排队问题分析
银行排队问题作为排队系统，其基本结构由输入过程（顾客流量）、服务时间（业务办理时间）、服务机构（服务窗口设置）和排队规则等四个部分构成。

图1 银行多台服务队列图

【问题分析】
1.顾客流量分析
顾客流量是指单位时间内到银行办理业务的顾客数。顾客到达的方式通常是一个一个到达的，当然也有成批到达的，但顾客的到达总是有一定的规律。根据概率理论，顾客的到达规律可以用概率来描述，即顾客的到达或到达时间间隔符合一定的概率分布，通常假设为相互独立且遵从同一概率分布的随机变量。常用的分布规律有：泊松分布、爱尔朗分布、等长分布等。在排队系统中，泊松分布是应用最为广泛的，服从泊松分布过程的到达被认为是随机到达，当顾客以泊松
分布到达时，顾客在各个时刻到达的可能性相同并与其它顾客的到达无关。服从泊松分布要求满足4个条件：平稳性、无后效性、普通性、有限性。
即：在银行的排队问题中，顾客流量可以说是满足泊松分布条件的，在实际系统模型中，一般都要假设顾客的到达是服从泊松分布的，实践证明：这种假设是有效的。
泊松分布函数为：
P{X = k} = λk e-λ/ k! (λ为常数， k=0,1,2,… )
即在时间T内有k位顾客到达的概率为：
P =（λT）k e-λT/ k! ，
其中，λT是在时间T内顾客到达的平均顾客数，λ为平均到达速率。

2、银行服务时间及效率
银行对顾客是一个一个进行服务的，且对每一个顾客的服务时间长短不一。将服务时间看作随机变量，那么它们是相互独立且遵循同一分布的。因此，顾客接受服务的时间规律往往也是通过概率分布描述的。常见的服务时间分布有定长分布、负指数分布和爱尔朗分布。一般来说，简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布。其分布函数为：
F（t）=1-e -μ t t≥0
其中μ＞0 为常数，代表单位时间内的平均服务率。则平均服务时间可表示为：1/μ 。

3、 城镇居民分布
一个地区的人口密度，可以用每平方公里的人数或户数来确定。人口密度越高，则选址网点的规模可相应扩大。
　　 计算人口密度，可通过计算白天人口来实现，即户籍中除去幼儿的人口数加上该地区上班、上学的人口数，减去到外地上班、上学的人口数。部分随机的客流人数不在考察数之内。
　　 白天人口密度高的地区多为办公区、学校等地。对白天人口多的地区，应在分析其消费需求特点的基础上进行经营。比如采取延长下班时间、增加便民项目等以适应需要。
　　 人口密度高的地区，到商业设施的距离近，可增加购物频率。而人口密度低的地区吸引力低，且客户光临的次数也少。

4、 银行本身的运行成本

【模型构造】
一般排队系统有三个基本部分组成。
(1) 输入过程, 指顾客到达排队系统。顾客是有限的还是无限的; 顾客相继到达的间隔时间是确定型的也可能是随机型的; 顾客到达是相互独立的还是有关联的; 输入过程可能是平稳的还是不平稳的。
（2） 、排队规则。可分为: 先到先服务; 后到先服务; 随机服务; 有优先权的服务。
（3） 、服务机构。包括为每个顾客服务所需的时间概率分布、服务台数目以及服务台的排列方式( 串联、并联等)。如图2所示:

图2 排队系统
服务系统一般分为三类:
(1)、损失制系统。当顾客到达这种服务系统时, 若遇到服务系统忙, 则顾客即时离去, 不排队。因为这种服务机制会失掉许多顾客, 故称损失制系统。
（2）、等待制系统。顾客到达该服务, 系统时服务员都在为先到的顾客服务, 后到的顾客只好排队等候服务。
(3)、混合制系统。在现实生活中, 很多服务系统介于损失制和等待制之间。当顾客到达时, 若服务员都不空但有排队位置,就排队, 如果服务员都不空且排队位置已满, 顾客就立即离去。排队论有几个性能指标: 系统中的平均排队长度Lq; 顾客在系统中的平均等待时间Wq; 顾客在系统中的平均逗留时间Ws; 系统中的平均顾客数Ls。几个常用的数量指标:平均到达率K; 平均服务率L; 系统中并联服务台的数目S;服务台强度, 即每个服务台单位时间间隔内的平均服务时间Q; 系统的稳态概率P0 和繁忙概率P。排队模型: X/ Y/ Z/A/ B/ C。X 指相继到达间隔时间分布; Y 指服务时间的分布; Z指服务台的数目; A 指系统容量限制;B 指顾客源数目; C 指服务规则。

【模型应用】
银行客户服务系统是平行排列的多服务台系统, 但由于现在银行普遍使用窗口自动叫号系统, 所有同类服务需求的客户排在了同一个队列上。为了便于分析问题, 可以将多服务台看成一个整体。则该排队系统适用单队列排队模型。
以某座城市的某银行营业厅为例, 根据统计资料, 顾客到达的频率与时间段有关, 一般在9: 00- 10: 30 和下午2: 30- 4:00 顾客到达率比其它的时间高。我们把时间分成两段, 考虑8: 00- 9: 00、9: 00- 10: 00 的情况, 分别代表了一般情况和繁忙时的情况。其中, 顾客编号i, 到达时间Ti, 服务时间si, 到达间隔t i, 排队等待时间Xi。具体数据见表3 和表4。

表3 8: 00- 9: 00 的统计
现代商贸工业
Modern Business Trade Industry 2010 年第1 期
根据表3计算出: 平均时间间隔为60/ 11= 5. 45( 分钟/人) ; 平均到达率为12/ 60= 0. 2(人/ 分钟) ;平均服务时间为48/ 12= 4. 00( 分钟/ 人) ; 平均服务率为12/ 48= 0. 25(人/ 分钟)。

表4 9: 00- 10: 00 的统计
根据表4计算出: 平均时间间隔为60/ 17= 3. 53( 分钟/人) ; 平均到达率为16/ 60= 0. 27( 人/ 分钟); 平均服务时间为57/ 16= 3. 56(分钟/ 人) ; 平均服务率为16/ 57= 0. 28( 人/分钟) 。把以上两表结合起来为表5。分析服务时间的分布规律, 求出均值和方差。

表5 服务时间和频率
服务时间的期望值为:
E( X) = X # p= ( 2 *2+ 2 *7+ 3 *6+ 4 *4+ 5 *4+ 6*2+ 7 *2+ 9*1) / 28= 3. 82
服务率期望值:
L= 28/ ( 2 *2+ 2*7+ 3 *6+ 4 *4+ 5 *4+ 6 *2+ 7 *2+ 9*1) = 0. 26
理论上讲, 顾客到达会形成泊松流, 因为:
(1) 、在不相重叠的时间内顾客到达数是相互独立的, 即无后效性; (2)、对于充分小的时间区间内有一个顾客到达的概率与时刻无关, 而与区间长成正比; 在我们把时间段分开之后来分析,这一点也是满足的;
（3)、对于充分小的时间区间, 有2 个或2个以上顾客到达的概率极小。顾客到达满足以上三个条件, 形成泊松流; 所以顾客到达率服从负指数分布。而服务时间可看作服从正态分布。然而在统计数据比较少的情况下, 并不能得出一般规律, 来精确的算出参数K( 到达率) 和L( 服务率) 。
本文对此问题只做简单的分析。
从表1 中可以看出, 在8: 00- 9: 00 时间区间内,每个服务台有12 个顾客到达, 其中有5 个顾客必须等待, 平均等待时间:Wq= ( 2+ 1+ 1+ 1+ 2)/ 12= 0. 58( 分钟) 。而在表2中可以得出, 在9: 00- 10: 00 时间区间内, 每个服务台有16个顾客到达, 有11 个顾客必须等待, 平均等待时间:Wq= (1+ 2+ 6+ 5+ 4+ 4+ 2+ 4+ 6+ 3+ 1)/ 16= 2. 375( 分钟) 。
根据以上分析, 在8: 00- 9: 00 时间区间内, 顾客平均到达率0. 2 人/ 分钟, 平均服务率是0. 25 人/ 分钟, 在9: 00- 10: 00 时间区间内分别为0. 27 人/ 分钟和0. 28 人/ 分钟。可以看出, 平均服务律是高于平均到达率的。但是, 通过表3 的数据分析, 在8: 00- 10: 00 时间区间内平均服务率为0.26 人/ 分钟, 由于表3 中的数据量比较大, 所以更具有代表性。如果这样分析, 平均服务率就小于9: 00- 10: 00 的顾客平均到达率0. 27, 这样就会使排队越来越长而直到高峰期过后才能得到缓解。我们认为在这个系统中, 当平均等待
时间超过1 分钟, 系统被视为效率低下, 而低于1 分钟被视为系统有闲置。通过以上分析, 在9: 00- 10: 00 时间区间内, 等待问题比较严重, 而在8: 00- 9: 00 系统有闲置现象。
现实中, 合理的把等待时间控制在( 1- E, 1+ E) 内很难(E为很小的数) 。为了提高服务效率, 提出以下几点建议:
(1)实行服务台弹性数量制度。根据顾客到达率和平均服务率, 算出平均等待时间为1 分钟的服务台数量, 服务人员弹性作业。
(2)细分顾客, 设置不同的服务柜面。这样可能会增加一部分人的等待时间, 但总体服务时间会得到改善, 也可以减少等待服务的顾客人数, 降低服务场所的拥挤程度。
(3)在顾客等待服务期间, 服务人员可为顾客完成一些辅助性的工作( 如代顾客填写存单) , 向顾客收集信息( 请贷款顾客先填写贷款申请表) , 介绍本营业机构的产品和服务( 为顾客赠送宣传品) , 以缩短核心服务时间。
(4)提高服务人员的工作水平, 采用高新科技成果, 利用自动化设备, 加快服务速度。银行的服务时间是银行在向顾客提供服务时的一种客观形式。它表明服务活动的顺序性、间隔性和持续性, 是服务过程的顺序更替和前后联系的表现。优化服务过程的时间配置, 对银行提高服务质量、降低成本、提高顾客满意度和增加市场份额具有重大的实
践意义。
4 系统优化经济分析与结语
在上面的分析中, 我们把等待的最佳时间定为1 分钟。事实上, 每个系统的情况都是不一样的, 算出的最佳等待时间应该是使系统的总成本最低的时间。在一般情况下, 银行要提高服务水平( 数量、质量) 自然会降低顾客的等待费用( 损失) , 但这样常常会增加成本。我们的目标就是使二者的费用之和最小, 并以此来决定达到这个目标的最优化服务水平。一般情形, 服务费用是可以确切计算或估计的。顾客的等待费用也是可以得到的。比如, 由于队列过长而失掉潜在顾客所造成的营业损失, 可以根据统计经验资料来估计; 服务水平, 一般用平均服务率来表示( 代表服务机构的服务能力和经验等); 其次是服务设备等都可以看做成本。可以算出各种费用的分布函数, 做出函数曲线, 从而求出费用最小的最短等待时间。如图6所示。

图6 各种费用分布函数曲线
尽量减少排队等待时间, 提高顾客的满意度, 建立现代化银行体系, 提升金融服务竞争力, 不但是社会发展的需要,更是人类走向文明的标志。建立一套科学的、具有可操作性的高效银行服务体系, 对于银行提高工作效率, 增强竞争力有重要的作用。这是银行自身发展规律的要求, 也是现代银行发展的必然趋势对银行经营管理提出的新的挑战。