1、
课后小测
一、基础巩固
1．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．
2．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?
二、能力提升
3．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
4．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC
2、＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m.
(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；
(2)最短路程是多少？
参考答案
1．解：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′；
(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．
2．解：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP于点B，则小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.
3．解：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ
3、PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．
理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．
4．解：(1)作法：如图作点A关于CD的对称点A′；
连接A′B交CD于点M.则点M即为所求的点．
证明：在CD上任取一点M′，连接AM′，A′M′，BM′，AM，
因为直线CD是A，A′的对称轴，M，M′在CD上，所以AM＝A′M，AM′＝A′M′，
所以AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B，
在△A′M′B中，因为A′M′＋BM′＞A′B，
所以AM′＋BM′＝A′M′＋BM′＞AM＋BM，即AM＋BM最小．
(2)由(1)可得A′C＝AC＝BD，
所以△A′CM≌△BDM，
即A′M＝BM，CM＝DM，
所以M为CD的中点，且A′B＝2AM，
因为AM＝500 m，
所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m.
即最短路程为1 000 m.
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