数学：第六章证明（一）复习教案（北师大版八年级下）.doc

证明（一）

三角形的外角与它相邻的内角是互为补角.
与它不相邻的内角关系是：
（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

证明一个命题是真命题的基本步骤是：
（1）根据题意，画出图形.
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
在证明时需注意：
（1）在一般情况下，分析的过程不要求写出来.
（2）证明中的每一步推理都要有根据.

图6－70
1.将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短.而是如图6－70的连法最短（即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗？
证明：∵四边形ABCD是正方形（已知）
∴∠DAB=90°（正方形的性质）
∵∠DAE=30°（已知）
∴∠EAB=60°（等式性质）
∵∠AEF=120°（已知）
∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°（等式的性质）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）

图6－71
2.已知，如图6－71，直线a,b被直线c所截，a∥b.
求证：∠1+∠2=180°
证明：∵a∥b（已知）

∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠3=∠2（对顶角相等）
∴∠1+∠2=180°（等量代换）

图6－72
3.已知，如图6－72，∠1+∠2=180°,
求证：∠3=∠4.
证明：∵∠2=∠5（对顶角相等）
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠1+∠5=180°（等量代换）
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）[来源:Z+xx+k.Com]
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）
4.回答下列问题
（1）三角形的一个内角一定小于180°吗？一定小于90°吗？
（2）一个三角形中最多有几个直角？最多有几个钝角？
（3）一个三角形的最大角不会小于60°，为什么？最小角不会大于多少度？
答案：（1）是 不一定 （2）一个 一个
（3）如果一个三角形的最大角小于60°，则这个三角形的三个内角的和将小于180°，所以一个三角形的最大角不会小于60°.
最小角不会大于60°

图6－73
5.“作一个立方体使它的体积等于已知立方体的2倍”，这是数学史上三个著名问题之一.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出这样的立方体的.在探索这一问题的过程中，有人曾利用过如图6－73所示的图形.[来源:学科网ZXXK]
其中AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，2PD=PA.如果∠A=α，那么∠ABP和∠PCD等于多少？
解∵AC⊥BD（已知）
∴∠APB=90°（垂直的定义）
∵∠A+∠APB+∠ABP=180°（三角形的内角和定理）
∠A=α
∴∠ABP=90°－α（等式的性质）[来源:学.科.网Z.X.X.K]
∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义）
∴∠ABC+∠BCD=180°（等式的性质）
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠A=α（已知）
∴∠PCD=α（等量代换）

图6－74
6.已知，如图6－74，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：∠EGH>∠ADE.
证明：∵DE∥BC（已知）
∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠EGH是△FBG的一个外角（已知）
∴∠EGH>∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠EGH>∠ADE（等量代换）
7.已知，如图6－75，直线AB∥ED.
求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD.

（1） （2）
图6－75
本题有多种证法.
证法一：（如图6－75（1））过点C作CF∥AB.
∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥ED（已知）
∴ED∥CF（两直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行）
∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）
∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质）
即：∠BCD=∠ABC+∠CDE
证法二：（如图6－75（2）），延长BC交DE于F点
∵AB∥DE（已知）
∴∠ABC=∠CFD（两直线平行，内错角相等）
∵∠BCD是△CDF的一个外角（已知）
∴∠BCD=∠CFD+∠CDE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）
∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）
Ⅳ.课时小结
本节课我们复习了第六章“证明（一）”的主要内容.大家要掌握证明的基本步骤，要会灵活添加辅助线，把条件和结论联系起来.还要会应用平行线的性质，判定及三角形的内角和定理、推论来解决一些证明、计算问题.
Ⅵ.活动与探究

图6－76
1.已知，如图6－76，∠B=32°,∠D=38°,AM、CM分别平分∠BAD、∠BCD，求∠M的度数.
你能把它一般化吗？你会证明如下结论吗？
AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD.
求证：∠M=（∠B+∠D）
［过程］让学生在探索的活动过程中，体会由特殊到一般的过程.培养他们分析、综合、归纳的能力.
［结果］解：∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD.
∴∠BAM=∠BAD，∠MCB=∠BCD.
∵∠B+∠BAD+∠AFB=180°
∠D+∠BCD+∠DFC=180°
∠AFB=∠DFC
∴∠B+∠DAB=∠D+∠BCD
∴∠DAB－∠BCD=∠D－∠B
∵∠BEM=∠M+∠BCM，
∠BEM=∠B+∠BAM[来源:学#科#网]
∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM
∴∠M=∠B+∠BAM－∠BCM
=∠B+（∠DAB－∠BCD）
=∠B+（∠D－∠B）
=（∠B+∠D）[来源:Z.xx.k.Com]
∵∠B=32° ∠D=38°
∴∠M=（32°+38°）=35°
一、填空题
1.命题“任意两个直角都相等”的条件是________，结论是___________，它是________（真或假）命题.
2.如图6－77，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________.

图6－77
3.在△ABC中，∠C=2（∠A+∠B），则∠C=________.

图6－78
4.已知，如图6－78，AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠D=__________.
5.已知，如图6－79，AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152°,则∠BED=__________.

[来源:学科网ZXXK]

图6－79
二、选择题
1.下列语言是命题的是( )
A画两条相等的线段
B.等于同一个角的两个角相等吗？
C.延长线段AO到C，使OC=OA
D.两直线平行，内错角相等.

图6－80
2.如图6－80，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于( )
A.63° B.62°
C.55° D.118°
3.下列语句错误的是( )
A.同角的补角相等
B.同位角相等[来源:学科网ZXXK]
C.同垂直于一条直线的两直线平行
D.两条直线相交只有一个交点
三、解答题
1.举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题.

图6－81
2.已知，如图6－81，AE∥BD∠1=3∠2，∠2=26°,求∠C.
四、证明题

图6－82
1.已知，如图6－82，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C.
求证：∠1=∠2.
2.已知，如图6－83，△ABC中，∠C>∠B,AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.

图6－83[来源:学科网]
求证：∠DAE=（∠C－∠B）.

[来源:学科网]

参考答案
一、1.两个角都是直角 这两个角相等 真
2.90° 3.120° 4.180° 5.78°
二、1.D 2.B 3.B
三、1.如：60°和50°都是锐角，但它们的和是钝角.
2.解：∵AE∥BD.
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2+∠C
∴∠C=∠3－∠2
∵∠3=∠1=3∠2
∴∠C=3∠2－∠2=2∠2
∴∠C=∠2=26°[来源:学科网ZXXK][来源:学*科*网Z*X*X*K]
四、1.证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行）
∴∠2=∠CAD（两直线平行，同位角相等）[来源:学科网ZXXK]
∵∠4=∠C（已知）[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）
∴∠1=∠CAD（两直线平行，内错角相等）
∴∠1=∠2（等量代换）
2.证明：∵AD⊥BC于D（已知）
∴∠ADC=∠ADB=90°（垂直的定义）
∵AE平分∠BAC（已知）
∴∠CAE=∠BAC（角平分线的定义）[来源:Z_xx_k.Com]
∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形内角和定理）
∴（∠B+∠BAC+∠C）=90°（等式的性质）
∵∠1+∠DAE=∠CAE（已知）
∴∠DAE=∠CAE－∠1
=∠BAC－（90°－∠C）[来源:学,科,网]
=∠BAC－［（∠B+∠BAC+∠C）－∠C］
=∠BAC－∠B－∠BAC－∠C+∠C
=（∠C－∠B）（等式的性质）
即：∠DAE=（∠C－∠B）.