第十届小机灵杯决赛试题及答案详解.doc

2012年第十届小机灵杯决赛试题及答案详解（五年级）

　每题4分

　　1、201.2×6.2+3012×0.38=
　　【详解】
　　201.2×6.2+3012×0.38
　　=2012×0.62+2012×0.38+1000×0.38
　　=2012×（0.62+0.38）+380
　　=2012+380
　　=2392

　　2、有一种四位数，这种四位数能被7整除，把它前后分成两部分，前两位数可以被3整除，后两位可以被5整除。这种四位数最小的是（）。
　　【详解】
　　1）能被3整除的最小两位数是12，
　　2）接下来考虑后两位，如果末位是0，那么十位是6；如果末位是5，那么十位是2
　　3）其中最小的四位数是1225

　　3、有一个数列，第一个数是4，第二个数是9，从第三个开始，每个数都是前两个数的和，该数列的前2012个的和除以4的余数是（）。
　　【详解】
　　数列中前2012个数的和除以4的余数可以通过计算其中每个数除以4的余数再求和计算出，
　　观察这个数列中每个数列中前几个数除以4的余数，“0,1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1，……”
　　发现6个一周期，2012÷6=335……2，（0+1+1+2+3+1）×335+0+1是前2012个数除以4的余数和，再除以4即可得到题目所求为1.

　　4、小巧去文具店买笔，她带了5元钱，买了至少6支笔，买完后剩下0.45元，每支笔多少钱？
　　【详解】
　　这些笔的总价为4.55元，及455分，
　　且由题意笔单价高于0.45，否则还能再买，455÷45=10……5，笔数应不超过10只，
　　455=5×7×13，那么符合要求的只有买7只笔，每只0.65元。

　　5、姐妹两人学英语，姐姐每天比妹妹多记11个单词，在40天里，姐姐有15天没有学，但是所记的单词的还是妹妹的两倍，问姐姐在这25天里学习了多少个单词？
　　【详解】
　　由题意可知，姐姐25天记的单词与妹妹80天记的单词数一样多。
　　而姐姐学习的25天里比妹妹多记11×25=275个单词，相当于妹妹后55天里记的单词，
　　所以妹妹每天记275÷55=5个，5+11=16个，16×25=400个。
每题8分

　　6、1、1、3、3、7、7、9、9从中取五个数，其中至少4个数字互不相同，且这五个数的乘积个位为1，问这五个数的和是多少？
【详解】
由题意知，必有1,3,7,9,；此四个数的乘积个位是9，那么第五个数与9乘积末位为1，所以第五个数是9.
　　1+3+7+9+9=29

　　7、有一个数列：2、6、30……该数列的第K项是前K个质数的乘积，已知其中两项的差为30000，问这个数的和？
　　【详解】
　　2,6,30……；接下来第4个数是2×3×5×7=210，而接下来的数都是210的倍数，而其中任意2个的差也一定是210的倍数。回过来看题目所求，30000中没有质因数7，而有质因数2,3,5，所以可知其中一个必为30，而另一个是30030=2×3×5×7×11×13，那么2数的和为30+30030=30060

　　8、有一个棱长为3.5的正方体，在其中一个面上挖去一个棱长为1.2的正方体，在棱长为1.2的正方体的底面上挖去一个棱长为0.7的正方体，再在棱长为0.7的正方体的底面上挖去一个棱长为0.3的正方体。问此图形的表面积？
　　【详解】
　　每向下挖一个正方体，其表面并无损失，反而会增加4个正方形侧面。
　　原表面积3.5×3.5×6=73.5，而后增加1.2×1.2×4+0.7×0.7×4+0.3×0.3×4=8.08，73.5+8.08=81.58

　　9、有个六位数11□□11，它能被17和19整除，□□里的两位数是几？
　　【详解】
　　17×19=323，那么323×abc=11□□11，由末位和首位可知a=3，c=7，进而可求出b=5，
　　那么323×357=115311，即□□=53.

　　10、图片是某小区的公路图，一个旅游者想要走过至少5条不同的公路，可以重复，但是重复的路线至多只有一条，而且走过一条路后，不能马上就走回来，游客有几条路线可走？（由于题目和图片是学生回忆的，可能有些出入，毕竟孩子记住不容易）
　　【详解】
　　由于需要经过5条公路，所以必须经过E点；
　　从A出发经B到E共有3种路线：
　　第一种：A-B-E-C-B-A（只有四条不同的道路，舍去）
　　A-B-E-C-B-E-D-A
　　A-B-E-C-D-A
　　A-B-E-D-C-B-A
　　A-B-E-D-C-E-D-A
　　第二种：A-B-C-E-B-A（只有四条不同的道路，舍去）
　　A-B-C-E-B-C-D-A
　　A-B-C-E-D-A
　　第三种：A-B-C-D-E-B-A
　　A-B-C-D-E-C-D-A
同理，由对称性从A出发经C到E再回到A也是4+2+2=8条路线，所以一共8×2=16
每题12分

　　11、5个科学家在一起研究某种新型的东西，所有资料都存放在一个保险箱里，这个保险箱有许多锁，每个科学家身上都带着若干把锁的钥匙，任何三个人在一起时都可以打开保险箱，而任何两个人则不行，保险箱上至少有多少把锁？
　　【详解】
　　因为5个人中任2人组都至少有一把打不开的锁，当然打不开的可以是两把以上，因为是求锁的最小数量，所以让每两人组打不开某一把锁，也就是每把锁都至少对应着一个2人组，此组中的2人在一起打不开这把锁，我们断言不同的2人组合所打不开的锁是不同的，否则这两个2人组合加在一起不少于3人却仍打不开同一把锁，这与题意不相符，以上的分析说明每把锁恰好只对应着一个2人组合时，锁的数目将是最小，最小数目应等于从5人中任取2人的组合数目，即以C（5,2）＝10把。

　　12、从1、3、5、7、9、11、13……97、99这50个奇数中，至多拿出（）个数，才能保证取出的数中，任意两个数中的一个数不是另一个数的倍数。
　　【详解】
　　按如下分抽屉：（99,33,11）、（97）、（95）、（93,31）、…………（39,13）、（37）、（35）；每组中已3倍关系分组，共分为33组，如果取了2个数来自同一抽屉，那么这两个数必有倍数关系。
　　所以至多每组中取一个，可行的是取每组中第一个99,97,95，……，39,37,35共33个。

　　13、在一个环形跑道上，甲乙两人在如图所示的AB两点上，他们相距100米，按逆时针方向奔跑。甲每秒5米，乙每秒4米，他们每跑100米都要停下歇10秒钟，甲多长时间追上乙？
　　【详解】
　　甲：每跑20秒，休息10秒，即一个时间周期为30秒；
　　乙：每跑25秒，休息10秒，即一个时间周期为35秒；
　　各跑一个周期，甲可以积攒下来5秒，当暂满20秒时，甲即可多跑100米。
　　20÷5=4个周期，35×4=140秒。

　　14、如图，上面三角形的面积是2，梯形面积是6，上底是下底的2位，阴影面积是
　【详解】
　　设上底为2a，下底是a，三角形高为h，梯形高为H；
　　由三角形面积是2，可知2a×h÷2=2，ah=2；由梯形面积是6，可知（2a+a）×H÷2=6，aH=4；
　　所以H=2h，而阴影三角形面积是a×3h÷2=ah×3÷2=3
　　15、式子1×2×3×4×5×6×……×2012-5除以2、3、4、5、6、7、8、9……100的99个余数的和是（）。
　　【详解】
　　2012！必定能被2,3,4,5，……，100的所有数整除，
　　而2012！-5除以100的余数与2012！+100-5除以100的余数相同，都是95，
　　那么2012！-5除以5,6,7,8，……，100的余数分别为0,1,2,3，……，95；
　　再分析2012！-5除以2的余数与2012！+6-5除以2的余数相同是1，同理2012！-5除以3,4的余数分别为1,3；
　　所以99个余数的和是1+1+3+（0+1+2+……+95）=4565