江西省2012年高考数学压轴卷-理.doc

2012年江西省高考压轴卷
数学理
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．复数（为虚数单位）的虚部是（　　）
A． B． C． D．
2．设的值（　　）
A． B． C． D．
3．下列有关命题的说法正确的是（　　）
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
B．“”是“”的必要不充分条件．
C．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”．
D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．
4．某圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆（如右图），则它的侧视图是（　　）

5．右面是“二分法”求方程在区间上的近似解
　的流程图．在图中①~④处应填写的内容分别是（　　）
A．；是；否
B．；是；否
C．；是；否
D．；否；是
6．已知数列的通项公式是，其前项和是，对任意的 且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．函数在坐标原点附近的图象可能是（　　）

9．如右图，给定两个平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上，且（其中），则满足的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，成立（其中的导函数），若，，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上
11.若二项式的展开式中的常数项为,则= 　　 .
12．如果函数在区间上有且仅有一条平行于轴的对称轴，则的取值范围是　　　　　　．
13．已知实数满足，若不等式恒成立，则实数的最大值是________________．
14．已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面围成的几何体的体积为 ．
选做题（本大题共两小题，任选一题作答，若两题都做，则按所做的第①题给分，共5分）
15．①（极坐标与参数方程选讲选做题）已知点，参数，点Q在曲线C：上，则点与点之间距离的最小值为 ．
②（不等式选讲选做题）若存在实数满足,则实数的取值范围是___．

2012年江西省高考压轴卷 数学理答题卡
一、选择题
题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答

二、非选择题
11、 12、 13、 14、
15、① ②
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（12分）已知函数，
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）设的内角的对边分别且,，若，求的值．

17．（12分）目前南昌市正在进行师大地铁站点围挡建设，为缓解北京西路交通压力，计划将该路段实施“交通限行”．在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：

（1）完成被调查人员年龄的频率分布直方图；
（2）若从年龄在的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

18．（12分）如图，在边长为4的菱形中，．点分别在边上，点与点不重合，．沿将翻折到的位置，使平面平面．
（1）求证：平面；
（2）设点满足，试探究：当取得最小值时，直线与平面所成角的大小是否一定大于？并说明理由．

19．（12分）设数列的前项和为，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列，在两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，求的值；
（3）对于（2）中的数列，若，并求（用表示）．

20.（13分）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，在轴负半轴上有一点，且
（1）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

21．（本题满分14分）

2012年江西省高考压轴卷
数学理试卷参考答案
1—5 BADDC 6—10 DCABA
11． 12． 13．14． 15．①4-1　②
16．解析：（1）……………．3分
则的最大值为0， 最小正周期是……6分
（2）则

由正弦定理得①………………………………9分
由余弦定理得 即②
由①②解得 ………………………………………12分
17．解：（1）

（2）所有可能取值有0，1，2，3，
，

………………………………………………10分
所以的分布列是

0
1
2

3

所以的期值是……………………………………12分
18．解：（1）证明：∵　菱形的对角线互相垂直，∴，∴，
∵ ，∴． ∵　平面⊥平面，平面平面，且平面， ∴　平面, ∵ 平面，∴　． ∵ ，∴　平面．……………………………… 4分
（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系．设 因为，所以为等边三角形，故，．又设，则，．所以，，，故 ，
所以，
当时，．此时，……6分
设点的坐标为，由（1）知，，则，，，．所以，，∵，　∴ ∴，∴． 10分
设平面的法向量为，则．
∵，，∴　
取，解得：， 所以．……………………………… 8分
设直线与平面所成的角，
∴
．又∵∴． ∵，∴．
因此直线与平面所成的角大于，即结论成立．……………………………12分
19．解：（1）当时，由.又与相减得：
，故数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以；…………4分
（2）设和两项之间插入个数后，这个数构成的等差数列的公差为，则
，又，故……………………………… 8分
（3）依题意，

，考虑到，
令，则
，
所以………………………… 12分
20．解：（1）由题意，得，所以 又
由于，所以为的中点，所以
所以的外接圆圆心为，半径…………………3分
又过三点的圆与直线相切，所以
解得， 所求椭圆方程为 6分
（2）有（1）知,设的方程为：
将直线方程与椭圆方程联立,整理得
设交点为，因为
则……………………………………8分
若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，
由于菱形对角线垂直，所以
又
又的方向向量是，故，则
，即
由已知条件知………………………11分
，故存在满足题意的点且的取值范围是………………13分
21.

- 9 -
用心 爱心 专心