2013北师大版选修2-1第三章-圆锥曲线与方程综合检测题及答案解.doc

综合检测(三)
第三章　圆锥曲线与方程
(时间：90分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．)
1．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是(　　)
A. B．　　　　
C．1　　　 D．X k B 1 . c o m
【解析】　右焦点F(1,0)，∴d＝.
【答案】　B
2．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是(　　)
A．20 B．12
C．10 D．6
【解析】　由椭圆的定义知：△ABF2的周长为4×5＝20.
【答案】　A
3．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点(　　)
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在x轴或y轴上
D．无法判断是否在坐标轴上
【解析】　∵m>n>0，
∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．
【答案】　A
4．双曲线－y2＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±，0) D．(0，±)
【解析】　依题意a＝2，b＝1，所以c＝＝，又因为双曲线－y2＝1的焦点在x轴上，所以，其焦点坐标为(±，0)．
【答案】　C
5．抛物线y＝－x2的准线方程是(　　)
A．x＝ B．y＝2
C．y＝ D．y＝－2
【解析】　由y＝－x2，得x2＝－8y，故准线方程为y＝2.
【答案】　B
6．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)是抛物线y2＝2px上的三点，点F是抛物线y2＝2px的焦点，且|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|，则(　　)
A．x1＋x3>2x2
B．x1＋x3＝2x2
C．x1＋x3<2x2
D．x1＋x3与2x2的大小关系不确定
【解析】　∵|PF1|＝x1＋，|PF2|＝x2＋，|PF3|＝x3＋，∴x1＋x3＝2x2.
【答案】　B
7．(2013·广东高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(30)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－
【解析】　右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c＝3.又离心率为＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，故C的方程为－＝1，选B.
【答案】　B
8．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C. D．
【解析】　对于A(a,0)，则直线方程为x＋y－a＝0，直线与两渐近线的交点为B，C，可求得B(，)，C(，－)，则有＝(，－)，＝(－，)，
因＝，故有－＝，即b＝2a，故e＝＝ ＝.故选C.
【答案】　C
9．双曲线－＝1的离心率为e1，双曲线－＝1的离心率为e2，则e1＋e2的最小值为(　　)
A．4 B．2
C．2 D．4
【解析】　(e1＋e2)2＝e＋e＋2e1e2
＝＋＋2··
＝2＋＋＋2(＋)
≥2＋2＋2×2＝8.
当且仅当a＝b时取等号．故选C.
【答案】　C
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(　　)
A．直线 B．抛物线
C．双曲线 D．圆
【解析】　易知点P到直线C1D1的距离为PC1，C1是定点，BC是定直线．据题意，动点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离．由抛物线的定义，知轨迹为抛物线．故选B.
【答案】　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
【解析】　由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4，±)．易求它到中心的距离为.
【答案】　
12．已知A(4,0)，B(－3，)是椭圆＋＝1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|＋|MB|的最小值是________．
【解析】　由题意知A(4,0)是椭圆的右焦点，设左焦点为点C，则C(－4,0)，∴|MA|＋|MB|＝10－(|MC|－|MB|)≥10－|BC|＝10－＝10－2＝8.
【答案】　8
13．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为________．新|课 | 标|第 | 一| 网
【解析】　设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线过点(2，－2)，∴4＝2p×2.
∴p＝1，∴x2＝－2y.
当y0＝－3时，得x＝6.
∴水面宽为2|x0|＝2 m.
【答案】　2 m
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
【解析】　由已知得点A，C为椭圆＋＝1的焦点，
由正弦定理得＝＝
＝.
【答案】　
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2013·大连高二检测)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(1,0)．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．
【解】　(1)由＝，c＝1得a＝，b＝1，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由得3x2－4x＝0，
解得x1＝0，x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝.
16．(本小题满分12分)求以(1，－1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在直线的方程．
【解】　设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则. ①
②
由，得.③
④
kAB＝. ⑤
由②－①，
得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，
∴＝.
将④⑤代入上式可得kAB＝－4.
∴弦所在直线方程为y＋1＝－4(x－1)，
即4x＋y－3＝0.
17．(本小题满分12分)已知过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的一条直线交拋物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证：
(1)x1x2为定值；(2)＋为定值．
【证明】　(1)拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，
当直线斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(k≠0)，
代入拋物线方程，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，故x1x2＝(定值)．
当直线的斜率不存在时，AB⊥x轴，x1＝x2＝，
∴x1x2＝也成立．
(2)由拋物线的定义知，FA＝x1＋，FB＝x2＋，
结合(1)可得＋＝＋
＝
＝＝＝(定值)．
18．(本小题满分14分)(2013·天津高考)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
【解】　(1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，
于是＝，解得b＝.
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，
x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.w W w .X k b 1.c O m
由已知得6＋＝8，解得k＝±.

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