盐的储存数学建模正式论文学士学位论文.doc

盐的储存问题

摘要

本文结合二维颗粒堆积体在实验室条件下的实验数据分析，确定了实际堆积体在受到法向集中荷载时的应力分布状态。验证了最大堆积高模型在一定条件下的正确性。我们假设盐堆积体内部具有摩擦内阻且不可忽略，简单地将复杂的内力应力分布和剪力分布简化为单元体受力，运用莫尔圆，求解到盐堆积体在极限应力状态下的摩擦角θ为13.3°最后由几何关系，求得对应的最大堆积高度为4.7m.对于盐堆积体的体积求算，我们建立了模型二，通过近似求解得到盐堆积体的体积为 。

关键词：二维颗粒堆积体 盐堆积高度 应力分析 库伦剪切破裂准则

一、问题的重述
某路政仓库把冬天用来洒在马路上的盐存贮在一个球顶仓库里大约有15年了。图1表示在过去15年中盐是怎么存贮的。通过驾驶铲斗车在由盐铺成的坡道上进出仓里并利用铲斗车上的铲子把盐装进仓里或从仓里取出来。
最近，一个小组确定这种做法是不安全的。如果铲斗车太靠近盐堆的顶端，盐就会滑动，而铲斗车就要翻到为加固仓库而筑的挡壁上去。该小组建议，如果盐堆是用铲斗车堆起来的，那么盐堆的最高高度不要超过4.6米。
图中仓高15.2米，挡壁高1.22米，仓的外直径31.4米，门的净空高6米，铲斗车高3.3米。对这种情况建立一个数学模型并求得在仓库中盐堆的最大高度并估算出盐堆的体积。

二、符号说明

符号
含义

盐堆积体的内部动摩擦因数

铲斗车和盐之间的动摩擦因素

铲斗车和车内盐总质量

盐堆积体最大高度

挡壁的高度（1.22米）

仓库地面直径

门的净空高

三、模型假设
1、 假设盐堆积体只和挡壁和地面接触，堆积的盐不会触到顶棚。
2、 不考虑盐堆因长时间堆积导致局部硬化造成的的密度不均，从而假设各摩擦因数保持不变，且不受外界因素的影响。
3、 我们假设只从进口到盐堆积体顶端的斜面运动，并且车从顶端开始倒退向门口堆积。
4、 假设铲斗车作缓慢匀速运动。
5、 假设仓库地面为刚性基底，不发生下沉。

四、模型的建立与求解

4.1最大堆积高模型的建立

根据文献[1]中的实验资料，我们可以得到二维颗粒堆积体的应力分布图(图4-1)。图中顶端施加一集中荷载，较明亮区域为应力分布区域。在此试验下的二维颗粒体堆积模型是实际堆积体的一种简化模型，在一定条件下和实际的堆积体的应力分布具有很大的相似性。所以我们可以据此得到盐堆积体的应力分布模型。进而，简化模型，分析盐堆积体的受力，根据相关的已知条件，求解出其最大堆积高度对应的临界角。

图（1-1）法向集中荷载作用下应力分布

经过多次试验，可以知道堆积体内部力的分布和传递遵循抛物线型方程。（如图4-2）即应力的分布范围边界组成一个抛物线型，且随着里的增大，应力分布范围大小不会发生明显的变化。

图1-2 不同大小法向集中荷载下堆积体应力范围拟合曲线

此外，随着深度的不同，应力的大小也发生着变化。如图1-3所示，在集中荷载P=400N的集中荷载作用下，不同深度的应力大小分布。在较深的地方会形成像一个拱形的区域。力的最大值在距离顶部较浅的地方分布。

图1-3 法向集中荷载p=400
N时不同深度的法向力分布力
基于以上分析，我们可以取盐堆积体的单元来分析，简化为如图2-1所示的斜面体。由材料力学的知识来求解其法向应力和剪力。
现取盐堆的斜面中一个微小立方体（如图2-1（1）），其截面受力情况如图2-1（2），微元体在斜面上受正应力和剪应力的作用，在临界状态时内部恰好发生破裂，在此条件下，以一个小的三角形Δ ABC为研究对象，受力分析如图2-1（3）所示

在截面三角形ABC中，设截面AB的面积是dA则面AC和面BC的面积分别为
dAsinφ和d Acosφ，我们取出图2-1（3）中的三角形作分析
可得下列方程：

（6）

考虑三角形ABC的力的平衡,可以列出:
截面法向n量方向的投影方程：

解得：
（7）

截面切线t方向的投影方程:

解得： （8）

库伦认为岩石和土壤抵抗剪切破坏能力与作用在截面上的剪应力和截面上的正应力有关。在此我们可以将盐堆类比土堆，其内摩擦系数有限，由库伦剪切破裂准则我们有：

其中C为粘聚力，Φ为内摩擦角，τ是破裂面上的剪应力，σ是破裂面上的正应力。
由于盐的粘聚力为C=0，所以上式可以简化为

即 （9）

在莫尔应力圆（如图2-2）中，

存在如图两条与盐堆破裂时的极限应力圆相切的两条直线，称为剪切破裂线，两个切点代表了共轭剪切面的方位和应力状态。
由图2-2可知，盐堆发生剪切时破裂面与最大主应力σ的夹角为φ，且有：

且
(11）

有了这些基础，我们便可以通过求解θ来确定盐堆的最大高度h了。

4.1.1最大堆积高模型的求解
将(6)、(7)代入(8)中并两边同时取倒数得:

(12)

即：

解得最终θ的最大值为13.3°。

这是保证盐堆积体稳定的最大摩擦角，当大于这个角度时，盐堆积体会达到极限应力发生破裂失去稳定性。现在，我们已经知道了最大摩擦角，就可以根据最大摩擦角，依据图2-3几何关系来求得盐堆积的最大高度。如图2-3.以E点为圆心建立圆的基本方程。
圆的基本方程为，将DF=y=6代入圆的方程，解得DE=x=14.5。当车到达门处时，该处盐的高度为h2=6-3.3=2.7m,所以我们可以由公式
解得： AD=6.2
所以有 AE=20.7
解得 =4.7m
4.2 堆积体体积计算模型的建立
对于盐堆积体的体积，考虑到具体计算的复杂性，我们忽略了盐堆积体的在受力状态下的体积变化，且认为堆积是按照近似圆锥进行堆积的。
4.2.1堆积体体积计算模型的求解

五、模型的评价和应用

六、参考文献

[1]刘源,苗天德，二维颗粒体中力的传递与分布研究,兰州大学，2005.
[2] 孙训方、方孝淑、关来泰，材料力学，北京，高等教育出版社，2009.7
[3]甘建军，汶川地震区大型堆积体变形破坏模式及稳定性研究，成都理工大学，2014.