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需要动脑筋的几个数学问题

问题一：一天有个年轻人来到王老板的店里买了一件礼物,这件礼物成本是18元,标价是21元.结果是这个年轻人掏出100元要买这件礼物,王老板当时没有零钱,用那100元向街坊换了100元的零钱,找给年轻人79元.但是街坊后来发现那100元是假钞,王老板无奈还了街坊100元.现在问题是: 王老板在这次交易中到底损失了多少钱?(其实是大家对损失的定义有分歧，礼物是损失18还是21？这并非数学上的争论）

问题二：一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块钱卖给另外一个人，问他赚了多少钱?(同样是取决于你怎样定义赚）

问题三：三个人去投宿，服务生说要30元，每个人就各出了10元，凑成30元．后来老板说今天特价，只要25元，于是叫服务生把5元拿去退还给他们．服务生想自己暗藏2元起来，于是把剩下的3元还给他们，那三个人每人拿回1元．10-1=9，表示每人只出了9元投宿．9乘以3+服务生的2元=29.那么剩下的1元呢

问题四：有12个球,其中有一个的质量与其他11个不同,(不知是轻还是重),现在给你一架天平,问:能否用三次就称出那个质量不同的球?如果能,请说明理由
答：分3组.ABC.一组4个.
第一次A和B..相等的话从C中拿2个换到B中(第二次)..若还相等则不同的球在C中剩下的2个球中..取一个和正常球秤(第三次)..相等则为C中最后剩下的..不等则为从最后2个中取出的那个.
第一次A和B..相等的话从C中拿2个换到B中(第二次)..若不相等则不同的球在C中拿出的这2个球中..第三次同上.
第一次A和B..不相等的话..从B中选出一球和A中一球交换并把B剩下的3个球换成C中的正常球(第二次)..若相等则不同球在B和C交换的3个球中..同时因为A全是正常球所以第一次若A>B则不同球偏轻..反之偏重..从BC交换的3个球中选2个解决.
第一次A和B..不相等的话..从B中选出一球和A中一球交换并把B剩下的3个球换成C中的正常球(第二次)..若不相等且偏的方向不变..则不同球在A中不交换的3个球中..同样通过第一次知道其轻重..第三次同上.
第一次A和B..不相等的话..从B中选出一球和A中一球交换并把B剩下的3个球换成C中的正常球(第二次)..若不相等但偏的方向改变..则问题在AB相互交换的2个球中..去一个和正常球比较解决.

问题五：*谁养鱼？爱因斯坦在20世纪初出的这个问题。他说世界上有98％的人答不出来！
条件一：在一条街上，有5座房子，喷了5种颜色。
条件二：每个房里住着不同国籍的人
条件三：每个人喝不同的饮料，抽不同品牌的香烟，养不同的宠物
问题是：谁养鱼？
提示：
1.英国人住红色房子
2.瑞典人养狗
3.丹麦人喝茶
4.绿色房子在白色房子左面
5.绿色房子主人喝咖啡
6.抽Pall Mall 香烟的人养鸟
7.黄色房子主人抽Dunhill 香烟
8.住在中间房子的人喝牛奶
9.挪威人住第一间房
10.抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁
11.养马的人住抽Dunhill 香烟的人隔壁
12.抽Blue Master的人喝啤酒
13.德国人抽Prince香烟
14.挪威人住蓝色房子隔壁

问题六：*如何证明三角形三条高共点
法一：首先我们来证明一个很有用的结论:
AB⊥CD 等价于 AC^2-AD^2=BC^2-BD^2.其中AC^2表示AC的平方,其余雷同.
证明方法提示:过A与B分别做CD的垂线得到两个垂足M与N，然后证明M与N重合.
如果A或B已经在CD直线上,则令M=A或N=B.

利用上面的结论来证明三高交于一点的思路:
首先设BC边上的高和CA边上的高交于H,即AH⊥BC,BH⊥CA.
利用上面的结论有:
　　AB^2-AC^2=HB^2-HC^2
　　BC^2-BA^2=HC^2-DA^2
把上面两个式子相加得到:
　　CB^2-CA^2=HB^2-DA^2
再次利用一开始的结论知道:
　　CH⊥BA
这样就证明了三高交于同一点了.
法二：设AB=b,AC=c，AH=h，BE与CF相交与一点H，HBh-b，
HC=h-c，(h-b)c=0，(h-c)b=0，所以，h(c-b)=0，因为c-b=BC 所以AH垂直BC，
所以Ｈ与Ｄ重合，所以AD与BC相交于一点与H重合.

法三：作高AA'交BB'于H，延长CH交AB于C'。观察到两个直角便知ABA'B'共圆，所以∠1=∠2，A'HB'C共圆，所以∠2=∠3，因此∠1=∠3，所以CB'C'B共圆，所以∠4=∠5=90，即CC'为高。

法四：另一个几何证法：过各顶点作对边的平行线构成一个新的三角形。由于ABA''C为平行四边形，所以CA''=AB同理CC''=AB，即C为A''C''中点，另外CC'⊥AB即CC'为A''C''的中垂线，三角形的中垂线交于同一点。

其它证法：转化成外心(像上面说的),梅涅劳斯,向量,复数,直角坐标,重心坐标(即面积坐标),等差幂线(上面也有),四点共圆,根心定理(即蒙日定理)
问题七：*已知两个数的和与积: 一日，鬼谷子在2--100这99个数字中选了2个数字，然后把它们的和告诉了庞涓，把积告诉了孙膑。当然，庞涓不知道积是多少，孙膑不知道和是多少。 第二日，庞涓遇见孙膑很傲慢的孙膑并说：“虽然我不知道这两个数是多少但是我肯定你也不知道。”孙膑立刻还击道：“本来我不知道的，但是现在我知道这两个数是多少了。”庞涓想了一 会，说道：“现在我也知道这两个数是多少了。一日，鬼谷子在2--100这99个数字中选了2个数字，然后把它们的和告诉了庞涓，把积告诉了孙膑。当然，庞涓不知道积是多少，孙膑不知道和是多少。 第二日，庞涓遇见孙膑很傲慢的孙膑并说：“虽然我不知道这两个数是多少但是我肯定你也不知道。”孙膑立刻还击道：“本来我不知道的，但是现在我知道这两个数是多少了。”庞涓想了一 会，说道：“现在我也知道这两个数是多少了。”

答案：4和13

解法1：由于庞涓肯定孙膑不知道这两个数，如果这两个数是素数，那么孙膑能够知道，换言之，所有两个素数的和都不是庞涓知道的和。而2个素数的和，你可以得到以下的数列
5,7，8,9，10，12 ,13，14，16，18 15，16，18，20，24 ,19，20，22，24，28，30 。。。。。。。
排除这些数以后，可以得到庞涓所知道的和为11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53，57，59，65，67，71，77，79，83，87，89，93，97，以及100以上所有的单数及174，178，184，188，192，194，196，198。而能够分成3个素数的积的情况下，如果其中一个素数大于50，则孙膑也可以从积中求得这两个数，比如53*2*2=212，只能分成53和4，这样又可以列一个表，排除53以上的素数+另2个素数的积，这样可以排除掉53以上的所有单数（具体自己去算）以及剩余那几个偶数，也就是说，庞涓知道的和只剩下11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53（数列A）而在这几个数分成的两个数所能组成的积中，孙膑要能判断出这两个数是什么，则孙膑所得到的积所能分解的数中，不能有2对的和为数列A中的数。比如孙膑得到的积为30，则2*15=30，2+15=17，5*6=30，5+6=11，无论是2和15还是5和6，庞涓都能有把握说孙膑不知道，这样，孙膑仍然不能判断出是2和15还是5和6。 但是这样去排除那些海量的积显然不是办法，这就需要用到第3个条件，即庞涓根据孙膑的判断也知道了这两个数。即是说，正确答案的和所能分解成的所有数对中，只有一对是孙膑可以判断出来的，其余孙膑都不能判断出来，否则庞涓无法判断出这两个数。比如这个和是11，那么可以分成2-9，3-8，4-7，5-6。积分别是18，24，28，30。30是孙膑判断不出来的（原理已讲过），但18，24，28孙膑都可以判断出是2-9，3-8，4-7，所以庞涓仍然无法判断这两个数是什么，则庞涓所得到的和肯定不是11。 我们再来看23，可以分成4-19，7-16，而这两个数对孙膑都可以判断出来。推而广之，只要是4+素数，8+素数，16+素数，32+素数孙膑都可以推断出来。那么这个正确答案的和中，不能分解成两对4+素数，8+素数，16+素数，32+素数。
27可以分成4+23和8+19
35可以分成4+31和16+19
37可以分成8+29和32+5
47可以分成4+43和16+31
51可以分成4+47和8+43
29可以分成16+13和7+22
41可以分成4+37和7+34
53可以分成16+37和19+34
最后只剩下17，我们来看看17可以分解成的数
2-15，积为30，孙膑无法判断
3-14，积为42，可分成2+21=23和3+14=17，孙膑无法判断
4-13，积为52，2+26=28（不属于数列A），4+13=17，孙膑可以判断
5-12，积为60，可分成20+3=23和5+12=17，孙膑无法判断
6-11积为66，可分成2+33=35和6+11=17，孙膑无法判断
7-10，积为70，可分成2+35=37和7+10=17，孙膑无法判断
8-9，积为72，可分成3+24=27和8+9=17，孙膑无法判断
所以，这两个数就是4和13

解法2：假设数为 X,Y ;和为X+Y=A,积为X*Y=B.
根据庞第一次所说的：“我肯定你也不知道这两个数是什么”。由此知道，X+Y不是两个素数之和。那么A的可能值为 11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97.
我们再计算一下B的可能值：

和是11能得到的积:18,24,28,30
和是17能得到的积:30,42,52,60,66,70,72
和是23能得到的积:42,60...
和是27能得到的积:50,72...
和是29能得到的积:...
和是35能得到的积:66...
和是37能得到的积:70...
我们可以得出可能的B为....，当然了，有些数（30=5*6=2*15）出现不止一次。
这时候，孙依据自己的数比较计算后，“我现在能够确定这两个数字了。”
我们依据这句话，和我们算出来的B的集合，我们又可以把计算出来的B的集合删除一些重复数。
和是11能得到的积:18,24,28
和是17能得到的积:52
和是23能得到的积:42,76...
和是27能得到的积:50,92...
和是29能得到的积:54,78...
和是35能得到的积:96,124...
和是37能得到的积:,...
因为庞说：“既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。”那么由和得出的积也必须是唯一的，由上面知道只有一行是剩下一个数的，那就是和17积52。
那么X和Y分别是4和13。