内蒙古赤峰市2015届高三12月模拟考试-数学理.doc

内蒙古赤峰市2015届高三数学模拟试卷（理科）
（12月份）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（　　）
　 A． {1，2，3} B． {0，1，2，3} C． {2} D． {﹣1，0，1，2，3}
2．设复数z满足z•i=2015﹣i，i为虚数单位，则在复平面内，复数z对应的点位于（　　）
　 A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
3．已知||=1，=（0，2），且•=1，则向量与夹角的大小为（　　）

　 A． B． C． D．
4．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（　　）

　 A． 8万元 B． 10万元 C． 12万元 D． 15万
5．已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（　　）
　 A． 10 B． ﹣10 C． 6 D． ﹣6
6．已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（　　）

　 A． B． 2 C． 4 D．
7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

　 A． 3 B． ﹣6 C． 10 D． ﹣15
8．设a=loh，b=log，c=（）0.3 则（　　）
　 A． c＞b＞a B． b＞a＞c C． b＞c＞a D． a＞b＞c
9．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（　　）
　 A． B． C． 1 D． 4
10．已知a、b、c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a、b、c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
11．设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（　　）
　 A． f（x）的图象过点（0，） B． f（x）的图象在[，]上递减
　 C． f（x）的最大值为A D． f（x）的一个对称中心是点（，0）

12．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（　　）
　 A． [，2] B． [0，1] C． [1，2] D． [0，+∞）

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上。
13．在的展开式中，x2的系数为
　_________　（用数字作答）．
14．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为6的概率是　_________　．
15．设点P是函数y=﹣图象上任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为　_________　．
16．如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，则BC=　_________　．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2﹣，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn=log2a1+log2a2+…+log2an，求证：＞﹣2（n∈N*，n≥2）

18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3
（1）求证：AB1⊥面A1BC；
（2）求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．

19．（12分）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：
类别
铁观音
龙井
金骏眉
大红袍
顾客数（人）
20
30
40
10
时间t（分钟/人）
2
3
4
6
注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
（2）用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．Q为抛物线y2=12x的焦点且•=0，2+=0．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过定点P（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点（M在P，N之间），设直线l的斜率为k（k＞0），在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a．
（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立．

四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE于点E，延长ED与圆O交于点C．
（1）证明：DA平分∠BDE；
（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．

选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．
（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．

选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

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