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第七章 三角形小结
三十六中学 何国庆 侯保安
一、本章知识结构

二、复习目标
1．记住与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），会运用三角形两边的和大于第三边，会画出任意三角形的高、中线、角平分线，理解三角形的稳定性。
2．会辨别与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。．
3．记住多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式。
4．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
三、重点与难点：
重点是：三角形的有关概念和性质，多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式。
难点是：借助三角形建立多边形的有关概念和性质。
四、知识归纳
1．三角形的概念
不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
三角形有三条边，三个内角，三个顶点。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.
注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个封闭的图形；
（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．
2．三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；
（2）构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
作用：（1）已知三角形两边，求第三边取值范围。
（2）判断三条线段能否组成三角形。
3．三角形的中线、角平分线、高
（1）三角形的中线
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．
表示法：1. AD是△ABC的BC上的中线.
2. BD=DC=BC.
注意：①三角形的中线是线段
②三角形三条中线全在三角形的内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
（2）三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
表示法：1. AD是△ABC的∠BAC的平分线.
2. ∠1=∠2=∠BAC.
注意：①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
④用量角器画三角形的角平分线．
（3）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
表示法：1. AD是△ABC的BC上的高线.
2. AD⊥BC于D.
3. ∠ADB=∠ADC=90°.
注意：①三角形的高是线段；
②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；
③三角形三条高所在直线交于一点．
4．三角形的稳定性：
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．
注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.
5．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
推理过程：
一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800，
即∠A+∠B+∠ACB=1800．
二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800，
即∠BAC+∠B+∠C=1800．

注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．
（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．
（3）特殊三角形的内角关系：直角三角形两锐角互余；等边三角形每个内角都等于600
6．三角形的外角的定义
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.
所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处
只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.
7．三角形外角的性质
（1） 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
（2） 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；
（2）作CM∥AB由于B、C、D共线
∴∠A=∠1，∠B=∠2. 即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
8．多边形的概念
（1）在同一平面内，由不在一直线上的n (n≥3的整数)条线段首尾顺次相接而组成的图形叫做n边形.
注意：（1）有几条边就是几边形；三角形、四边形是最简单的多边形．
（2）多边形相邻两边组成的角是它的内角．
（3）多边形的边和它邻边的延长线组成的角是它的外角．
（4）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线．
（5）各个角相等，各条边都相等的多边形是正多边形．
（6）从n边形一个顶点出发可引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。n边形共有 条对角线。
（7）下面两图中，图(1)任何一条边所在的直线整个图形都在这条直线同一侧， 这样的图形我们称它为凸多边形，而图(2)就不满足上述凸多边形的特征， 因为我们画BD所在
直线、整个n边形不都在这条直线的同一侧.我们称它为凹多边形， 今后我们提到的多边形都是凸多边形.

9．多边形的内角和： n边形的内角和等于（n一2）·180°．
注意：（1）要得到多边形的内角和可通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形；
（2）此公式可以已知边数求内角和，也可以已知内角和求边数．
10．多边形的外角和：多边形的外角和等于360°．
注意：多边形的外角和与它的边数无关．
11．平面镶嵌
（1）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完整覆盖，叫做多边形覆盖平面(或平面镶嵌)
（2）用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360°，这种正多边形就能作平面镶嵌
注意：①正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌；
②而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°，所以这些正多边形都不能镶嵌．
（3）用两种或以上正多边形镶嵌
用两种或以上正多边形镶嵌只要几个正多边形的内角和是3600就行．
（4）用一般多边形镶嵌：用同一种三角形、同一种四边形都可以．

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