数学归纳法教学设计.doc

数 学 归 纳 法 教 学 设 计一、课标要求： 1借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；2了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题二、教材分析：数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中的第五条，“数学归纳法”是人教A版普通高中课程标准实验教科书 数学（选修2-2）中的第2章推理与证明中的第三单元，数学归纳法的学习，计划利用2个课时学习，本节课是数学归纳法的起始课，主要是理解数学归纳法，并初步利用数归解决简单的数学问题，数学归纳法属于直接证明，它可以完成通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立的命题的证明在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用， 应用数学归纳法(证明某些与正整数有关的命题时常常采用的方法)证明命题的步骤：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设当时命题成立，证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立三、学生分析：学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础因此，教学中通过类比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质四、教学目标：1、知识与技能：借助具体实例归纳出数学归纳法的定义和步骤；了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题2、过程与方法: 观察多米诺骨牌试验，体验数学归纳法的发现过程;借助例2尝试利用数学归纳法解决数学问题3、情感态度与价值观：通过对数学归纳法原理的探究，养成严谨的科学态度和勇于探索的精神；通过置疑与探究，体验类比的思想，逐步形成独立的人格与敢于创新的精神， 五、教学重点和难点：重点： 数学归纳法教学的重点是借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题难点：学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；六、教学方法：讲授法讨论法 七、学习方法： 自主、合作、探究八、教学资源：电脑多媒体投影仪等 九、教学设计1.从思考题中引入课题（1）、已知数列 的通项公式为（1）求出其前四项，（2）你能得到什么样的猜想？ 猜想一定正确吗？（2）、已知数列， （1）求出其前四项，（2）你能得到什么样的猜想？猜想一定正确吗？ 分析：逐一验证是不可能的那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法数学归纳法”【设计意图】 应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察归纳猜想证明”2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想利用多媒体，动态地演示多米诺骨牌游戏【设计意图】 通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件，同时第块骨牌倒下，必然导致第骨牌倒下，这是所有骨牌都倒下的保证，也就是多米诺骨牌游戏的连续性设问问题： 多米诺骨牌游戏与前面所提到的要解决的问题有相似性吗？能否类比多米若骨牌游戏来解决你的猜想是正确的？【设计意图】 在类比的过程中学习数学归纳法.分析1：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立.分析2：根据“任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下”，抽象出数学归纳法的第二步，即（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立.分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都成立.【设计意图】 抽象出“多米诺骨牌游戏”的本质.3.数学归纳法概念的形成数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立.4、数学归纳法的应用例1.用数学归纳法证明“,对于的正整数n都成立”时，第一步证明的起始值n应取（ ）A.2 B.3 C.5 D.6【变式1】若，则时（ ） 【设计意图】数学归纳法第一步中的“第一个数”不一定就是“1”， 也可能是“2”或其它数，要根据题意准确选择当取第一个值时，左边的式子要认识到位例2.用数学归纳法证明： 【变式2】 例2的如下证明对吗？ 证明：（1）当时，左边=1，右边=，等式成立（2）假设n=k时命题成立，即 那么 即当n=k+1时等式也成立根据（1）和（2），可知等式对都成立【变式3】 试判断下列用数学归纳法证明过程是否正确？ 证明：假设n=k时命题成立，即 那么 即当n=k+1时等式也成立可知等式对任何都成立.【想一想】(1) 第一步，是否可省略？ (2) 第二步，是否可省略？ (3) 第三步，是否可省略？ 【小结2】【变式4】用数学归纳法证明【设计意图】 例2是教材中的一道习题，变式2是对例2证明方式的变化，变式3是对例2结论的变化，通过反问，让学生真正意识到在证明命题时“两个步骤和一个结论”缺一不可， 缺了第（1）步，就没有了归纳奠基；缺了第（2）步，就丧失了归纳递推的过程；缺了结论，整个数学归纳法的过程就不能顺利完成. “两个步骤和一个结论”缺一不可；变式4是数归的应用。总之，由于本节课教学的难点是：学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明，因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设，如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，直接将代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明因为从“n=k到n=k+1”的一般性递推，可以看成一个独立的命题，这样有利于突破数学归纳法第二步中证明命题的难点关于这个难点，下节课还要重点的研究，在本节课中，为突破以上教学难点，课堂教学中两条线索交替进行一条是主线：“提出问题分析问题解决问题”；另一条是暗线：“课堂提问的规则根据学号提问，并依次从小号到大号”在这个过程中，让学生体会数学归纳法证明命题的第一步的第一个值不一定是1，就如同第一个被提问到的学生不一定是1号的学生一样若是2号，则下一个被提问的学生一定是3号利用flash软件，动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进行分析讲解，增强课堂教学效果因为数学来源于生活，将数学生活化，通过列举生活中的多米诺骨牌现象，增强课堂教学的趣味性 十、 板书设计 数学归纳法1、 数学归纳法的概念：2、 应注意的问题：3、 应用 例1 变式1 例2 变式2 变式3 变式44、小结十一、教后反思：成功的经验改进的地方6