《1.1.2-余弦定理》-导学案-1.doc

《1.1.2 余弦定理》 导学案 1
学习目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学习内容
一、引入：
在ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，已知a， b和C，求边c

二、新课学习：
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

设，，，那么，则

从而
同理可证

于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
(由学生推出)从余弦定理，又可得到以下推论：

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
三角形的几个面积公式：
(1)S= ah(h表示a边上的高)
(2)S=ab =bc =ac
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径)
(4)S= (其中)
[理解定理]
余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
【例题分析】
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：
∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
解：由余弦定理的推论得：
cos

；
cos

；

课堂小结
(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
(2)余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
课后作业
1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为(　　)
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于 (　　)
A. B. C. D.
4．若△ABC的内角A、B、C所对的边ab、c满足(a＋b)2－c2＝4，且∠C＝60°，则ab的值为 (　　)
A. B．8－4
C．1 D.
5．已知△ABC的三边长分别是2m＋3， m2＋2m，m2＋3m＋3(m＞0)，则最大内角的度数是________．
6．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝____.
7．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
8．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是 (　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度确定
9.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )
A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形
10.△ABC中，，则三角形为
11. 在△ABC中，已知B=30°，b=50，c=150，那么这个三角形是( )
A等边三角形B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形
12.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为( )
A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形
13. 在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．

14. 在中，已知=5， =5，=300求、、及面积.

15. 已知，， 是中∠， ∠，∠的对边， 是的面积，若=4， =5， =5，求的长度.