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矩形、菱形、正方形 课前热身1.如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若CBA=30则BEA=_ 2如图，菱形ABCD的边长为10cm，DEAB，则这个菱形的面积= cm23如图1，由“基本图案”正方形ABCO绕O点顺时针旋转90后的图形是 ( )基本图案图1 A B C D4.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）A矩形B直角梯形C菱形D正方形5如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是6 的平行四边形是是菱形（只填一个条件）【参考答案】1.60 2.60 3.A 4. A 5.答案不唯一，如AC=BD，BAD=90o，等6.对角线互相垂直（或有一组邻边相等，或一条对角线平分一组对角）考点聚焦知识点矩形 菱形 正方形大纲要求 1理解几种特殊的平行四边形的定义、特征和识别方法 2理解几种特殊的平行四边形之间的关系 3了解特殊平行四边形的面积公式，中点四边形和重心的物理意义 4会求解特殊平行四边形与函数或三角函数有关的问题5会求特殊平行四边形中涉及全等、相似和其他几何变换的问题考查重点和常考题型 本节内容的试题涉及特殊平行四边形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算，题型有填空题、选择题，但更多的是证明题，求值计算题、条件探索题、几何动态问题和与函数结合题备考兵法 1在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，通常是在某一个直角三角形中运用勾股定理及有关直角三角形的知识来解决正方形的性质很多，要根据题目的已知条件，选择最恰当的方法，使解题思路简捷 2在解答时，要根据特殊平行四边形的一些特殊规律或添加相应的辅助线，将所求的结论转化在特殊的平行四边形或三角形中思考，要注意寻找图形中隐含的相等的边和角考点链接1. 特殊的平行四边形的之间的关系 2. 特殊的平行四边形的判别条件要使 ABCD成为矩形，需增加的条件是_ _ ； 要使 ABCD成为菱形，需增加的条件是_ _ ；要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是_ _ ；要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是_ _ .3. 特殊的平行四边形的性质 边角对角线矩形菱形正方形 典例精析例1（浙江杭州）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_【答案】14或16或26 【解析】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力。解答本题最好能将所有的拼法画出来后再进行求解。本题的不同拼法有：例2（浙江杭州） 如图，在菱形ABCD中，A=110，E，F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC=( )A.35 B.45 C.50 D.55 【答案】 D 【解析】本题综合考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的内角和等知识点，是一道综合性很强的题目。ABCDEPFG解答本题应首先延长PF交AB的延长线于点G，根据题意，利用角角边可证明，于是得到，PF=FG，所以在中，EF是斜边上的中线，于是得到FE=FG，所以，又因为E、F分别为中点，所以EB=FB，所以，FE=FG=BF，所以，又因为A=110，所以,因此，,解得。ABCDEFO例3（年贵州贵阳）如图，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任意作一条直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 【答案】或0.25.【解析】本题综合考察了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识进行有关计算的能力，属于基础题，依据已知和正方形的性质及全等三角形的判定可知AOECOF,则得图中阴影部分的面积为正方形面积的，因为正方形的边长为1，则其面积为1，于是这个图中阴影部分的面积为。解答这类题时一般采取利用图形的全等的知识将分散的图形集中在一起，再结合图形的特征选择相应的公式求解。例4（山东威海）如图1，在正方形中，分别为边上的点，连接交点为图1DCBAOHGFEEBADCGFH图2图3（1）如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形若正方形的边长为3cm，则图3中阴影部分的面积为_【分析】（1）结合条件观察图形2容易发现：，得出：四边形EFGH是菱形；再由可知：，从而证得四边形是正方形.（2）连接EH、HG、GF、FE，由第（1）小题可知：四边形是正方形，可得阴影部分面积是1.【答案】（1）四边形是正方形证明： 四边形是正方形， .，四边形是菱形由知，四边形是正方形（2）1迎考精炼一、选择题1.（吉林长春）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点的坐标为（ ）ABCDxyOCBA2（广西南宁）如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）ABCDABCD3.（湖南长沙）如图，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是（ ）A2B4CDODCAB4（湖北孝感）如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上小明认为：若MN = EF，则MNEF；小亮认为: 若MNEF，则MN = EF你认为（ ） A仅小明对B仅小亮对C两人都对D两人都不对 5（黑龙江齐齐哈尔市）梯形中，则的长为（）A2B3C4D56（山西）如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）A B C Dmnnn（2）（1）二、填空题1.（广西贺州）如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2BCEADFADCBO2.（青海）如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可） 3.（天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形若一个四边形的中点四边形是一个矩形，则四边形可以是 4.（山东烟台）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 5（山东日照）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，ABDACD，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出ADBC且ABCD. BCDAO（第5题图）三、解答题1.（浙江嘉兴）如图，在平行四边形ABCD中，于E，于F，BD与AE、AF分别相交于G、H（1）求证：ABEADF；（2）若，求证：四边形ABCD是菱形ADCBGEHF2. (安顺安顺)如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。（1） 求证：BD=CD；（2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。3.（湖南益阳）如图，ABC中，已知BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形； (2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值. BCAEGDF4.（吉林长春）如图，在矩形中，点分别在边上，求的长ABCDEF 5.（广西南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长米，下底长米，上下底相距米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为米（1）用含的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？6.（福建龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿ABC向终点C运动，连接DM交AC于点N（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN求证：；若ABC = 60，AM = 4，ABN =，求点M到AD的距离及tan的值；（2）如图2，若ABC = 90，记点M运动所经过的路程为x（6x12）试问：x为何值时，ADN为等腰三角形CBMAND（图1）CMBNAD（图2）【参考答案】一、选择题1.C 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A二、填空题1.2.或，或，或，或3.正方形（对角线互相垂直的四边形均可）4.17 5.DACADB，BADCDA，DBCACB，ABCDCB，OBOC，OAOD；(任选其一) 三、解答题1.（1）AEBC，AFCD，AEBAFD90 四边形ABCD是平行四边形，ABEADF ABEADF （2）ABEADF，BAGDAHAGAH，AGHAHG，从而AGBAHDABGADH 四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形 2.（1），是的中点， ， （2）四边形是矩形 ，是的中点，四边形是平行四边形又 四边形是矩形 3.(1)证明：由题意可得：ABDABE，ACDACF .DABEAB，DACFAC，又BAC45，EAF90.又ADBCEADB90FADC90.又AEAD，AFADAEAF.四边形AEGF是正方形.(2)解：设ADx，则AEEGGFx.BD2，DC3BE2，CF3BGx2，CGx3.在RtBGC中，BG2CG2BC2( x2)2(x3)252.化简得，x25x60解得x16，x21（舍）所以ADx6.4.解：四边形是矩形，AB=6A=D=90，DC=AB=6又AE=9在RtABE中，由勾股定理得：BE=，即EF=5解：（1）横向甬道的面积为：（2）依题意：整理得：（不符合题意，舍去）甬道的宽为5米（3）设建设花坛的总费用为万元当时，的值最小因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，米时，总费用最少最少费用为：万元CBMANDH126.（1）证明：四边形ABCD是菱形 AB = AD，1 =2 又AN = AN ABN ADN 解：作MHDA交DA的延长线于点H，由ADBC，得MAH =ABC = 60， 在RtAMH中，MH = AMsin60 = 4sin60 = 2， 点M到AD的距离为2易求AH=2，则DH=62=8在RtDMH中，tanMDH=，CMBNAD1234由知，MDH=ABN= 故tan= （2）解：ABC=90，菱形ABCD是正方形 此时，CAD=45 下面分三种情形： ）若ND=NA，则ADN=NAD=45 此时，点M恰好与点B重合，得x=6； ）若DN=DA，则DNA=DAN=45 此时，点M恰好与点C重合，得x=12； ）若AN=AD=6，则1=2，由ADBC，得1=4，又2=3，3=4，从而CM=CN，易求AC=6，CM=CN=ACAN=66，故x = 12CM=12（66）=186 综上所述：当x = 6或12 或186时，ADN是等腰三角形- 14 -