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习题精选一

　　1．等边三角形的高是h，则它的面积是(        )

　　A． h2　　　　　　B． h2　　　　　C． h2　　　　　D． h2
　　答案：B
　　说明：如图，ΔABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD=h，因为∠B=60º，AD⊥BC，所以∠BAD=30º；设BD=x，则AB=2x，且有x2+h2=(2x)2，解之得x= h，因为BC=2BD= h，所以SΔABC= BC•AD= • h•h= h2，所以答案为B．
　　2．直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为(        )
　　A． 12cm2      B． 10cm 2      C． 8cm2      D． 6cm2
　　答案：D
　　说明：设直角三角形的两条直角边长分别为xcm、ycm，依题意得：
　　由①得x+y=7③，由③得(x+y)2=72，即x2+y2+2xy=49，因为x2+y2=25，所以25+2xy=49，即xy=12，这样就有S= xy = ×12=6，所以答案为D．
　　3．下列命题是真命题的个数有(        )
　　①直角三角形的最大边长为 ，短边长为1，则另一条边长为
　　②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为
　　③在直角三角形中，若两条直角边长为n2−1和2n，则斜边长为n2+1
　　④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5
　　A．1个      B．2个      C．3个      D．4个
　　答案：D
　　说明：①因为另一条直角边长的平方为( )2−12=3−1=2，所以另一条边长为 是正确的；②设两直角边为k和2k，而由已知 •k•2k=2，所以k= ，故两直角边长为 ，2 ，所以斜边长为 = ，故②正确；③因为(n2−1)2+(2n)2=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2，故③正确；④由面积、底边上的高可得底边为6，故底边的一半为3，所以斜边长为 =5，故④正确；所以答案为D．
　　4．直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为m，则这个三角形的周长是(        )

　　A． + 2m　　　　　B． +m　　　　　C．2( +m)　　　　　D．2 +m
　　答案：C
　　说明：如图，设AC=x，BC=y，则 xy=S；因为CD为中线，且CD=m，所以AB=2CD=2m，所以x2+y2=( 2m)2=4m2，(x+y)2=x2+2xy+y2=(x2+y2)+2xy=4m2+4S，即x+y= ，所以ΔABC的周长为：AC+BC+AB=x+y+2m = +2m=2( +m)，答案为C．
　　5．如图，已知边长为5的等边ΔABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是(        )

　　A．10 −15　　　　　B．10−5 　　　　　C．5 −5　　　　　D．20−10
　　答案：D
　　说明：设DC=x，因为∠C=60º，ED⊥BC，所以EC=2x
　　因为ΔAEF≌ΔDEF，所以AE=DE=5−2x
　　由勾股定理得：x2+(5−2x)2=(2x)2，即x2−20x+25=0，解得x= =10±5
　　因为DC可以有(        )
　　A．0个      B．1个      C．2个      D．3个
　　答案：C
　　说明：①若a为斜边长，则由勾股定理有22+42=a2，可得a=2 ；②若a为直角边长，则由勾股定理有22+a2=42，可得a=2 ，所以a的取值可以有2个，答案为C．
　　7．小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为(        )米
　　A．0.7      B． 0.8      C．0.9      D．1.0
　　答案：A
　　说明：因为墙与地面的夹角可看作是直角，所以利用勾股定理，可得出梯脚与墙脚的距离为 = =0.7，答案为A．
　　8．一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为(        )
　　A．6      B． 8      C．10      D．12
　　答案：C
　　说明：设直角边长为x，则斜边为x+2，由勾股定理得x2+62=(x+2)2，解之得x=8，所以斜边长为8+2=10，答案为C．
　　 9．如图，在ΔABC中，若AB>AC，AE为BC上的中线，AF为BC边上的高，求证：AB2−AC2=2BC·EF
　　证明：因为AF⊥BC，所以在RtΔAFB中，由勾股定理得：AB2=AF2+BF2
　　在RtΔAFC中，由勾股定理得：AC2=AF2+FC2
　　所以AB2−AC2=BF2−FC2=(BF+FC)(BF−FC)=BC•(BF−FC)
　　因为BF=BE+EF，FC=EC−EF，BE=EC
　　所以BF−FC=2EF
　　所以AB2−AC2=BC•2EF=2BC•EF
　　10．如图，ΔABC中，∠A=90º，E是AC的中点，EF⊥BC，F为垂足，BC=9，FC=3，求 AB．
　　解：如图，作AD⊥BC
　　因为EF⊥BC，所以AD//EF
　　因为E为AC中点，所以F为DC的中点
　　因为FC=3，所以DF=3，DC=3+3=6
　　因为BC=9，所以BD=9−6=3
　　设EC=x，则AC=2x
　　由勾股定理得：AC2=AD2+DC2，AB2=AD2+BD2
　　所以AC2−AB2=DC2−BD2①
　　即AC2−AB2=62−32=27
　　因为∠A=90º，由勾股定理得AB2+AC2=BC2=81②
　　由②−①得2AB2=81−27=54，所以AB2=27，即AB= =3