1、第一部分:
第二部分:
通过对正三角形的讨论,猜想一个拓展命题:
问题: 求正方形ABCD内部满足
如图所示,正方形ABCD中, E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
连接AB , BD , EG , FH ,
这里的AC ,BD ,EG ,FH其实就是正方形4条对称轴在正方形内的部分.
易证点W在这4条线段上时满足题意如图
如图4-1
点W在AC或(BD)对角线上时,
有
同理易证明图4-2 中点W在EG和FH上满足题意.
现在证明其它点不合题意,
假设点W若不在正方形对称轴线段AC ,
2、BD , EG , FH上时 , 也满足题设条件 .
设点W在三角形ODG内[正方形是4向对称图形,点W取在三角形ODG内完全具有同一性]
作点V与点W关于EG对称
延长WV与AC , BC 交于点K ,点T
并在线段作点J , 使得TJ = TC
连接WA , WB , WC , WD , WJ ,
VA , VB , VC , VD , VJ , JK ,
由辅助线作法易知四边形ABVW是等腰梯形,即点A , B ,V ,W共圆.
设
而且
将之代入得
且
那么有
于是得证假设不成立!
参考文
3、献
1. 第一部分
原题应该是一道罗马尼亚1978奥数题 , 因个人收集的资料有限 , 无法准确提供最早的出处 , 但在 最新国际国内数学奥林匹克竞赛优化解题题典[M]. 马传渔著, 长春:吉林教育出版社,2003,1. 一书中有收录.
2. 第二部分
关于正方形的推广问题最早由南通大学理学院教师刘凯峰在2004年秋提出,
在2005年秋冬季我曾提供其中一种解法给刘凯峰, 但由于保管不善, 该论文被
其友聂柏琴窃占以第一作者发表于《中学数学教学》 2011年第2期 62-62页.
最可笑的是刘凯峰老师在整理时还是一篇毛稿,连作图中的圈点也没有隐藏, 而聂柏琴直接
4、一个标点也不改就投稿了.对此种败类就不多提了!
本文中第二部分是另一种证明法,原本只是为防万一,不想论文真的被人剽窃!
这里解法前半部基本相同,而最后只要利用共圆性质就能简单证明原推广问题!
3. 第三部分
对于该问题推广到正N边形的部分最早也是由我提出,并在2006年春提供完整的证明思路给刘凯峰!(其中包括正5,正6,正8边形的完整数形证明法,正N边形推广问题的复数系证明草稿)可以通过建立复数坐标系向量化正N边形内的各线段,进而利用两复数相等实虚部分别相等去解决问题!
特别提出: 在百度文库里有一篇:数学教学2012年第5期一位叫吴波的作者的论文: 关于正多边形的一个有趣的轨迹
5、问题 ,该论文的不完整证明和本人的论文 是完全不同的逻辑,故相互间不存在抄袭可能! 但最重要的是作为教育工作者其解法起码要大部分的学生易而快的看懂理解.
4. 关于第二部分刘凯峰整理版 , 本人以宋振安刘凯峰为第一作者也原稿置于百度文库 : 正方形的一个轨迹问题 , 通过和中学数学教学主编沟通,原本收录该文的网刊合作方万方数据已摘除下网原聂柏琴以第一作者发表文章!但仍无法消除影响!
第三部分:
通过对等边三角形和正方形类似问题的观察,
的所求点几何位置均为其对称轴在图形内部分,
那么我们猜想问题:
如图所示:作出单位圆O , 建立复坐
6、标系R , 设圆周与实轴正向交于点An , 并均匀沿逆时针方向依次在圆周上排列 点M设在内.
解 : 通过观察,易发现
那么也就是有
于是
设
展开上面的多项式
=
+
+
+
+
+]
+
+
+
这里的 =
说明,设集合 K = {}
K1 = ,
K2 = ,
K3 = ,
为了能简单展开式，表示 为 ，
则
= + + + +
+ +
利用韦达定理，易
7、证明
猜想 = 0 ，但不易展开证明
所以如图，逆时针旋转 坐标系R ，得 新坐标系sR
设
于是新坐标系sR中的点与原复坐标系R中的分别相同
并且有 一 一对应
那么 =
显然旋转坐标系后并没有使原定义的 集合K = {} 改变
即原定义的组合不变，
于是 即
假设
那么也有
据 两复数 相等 则 实虚部 分别相等 的性质
，
矛盾！即假设不成立
于是得证 。而对于 ，由展开式可知
于是
满足题意时
那么有 =
这里 ，
显然
另
这里 为原单位圆半径，
由
得
那么有
即 ， 这里
，
即 ， 得证 点M在正n边形内的n条对称轴线段上。
据 两复数 相等 则 实虚部 分别相等 的性质
若点M不在对称轴线段上，则上述等式不成立
即得证命题中点M的位置只在正n边形的n条对称轴线段上。
宋振安
2012年9月27日
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