一中李明导数的概念(初新).doc

普通高中课程标准实验教科书数学（人教B）选修2-2

导数的概念
（教学设计）

辽宁省抚顺市第一中学 李明
2012年9月

《导数的概念》教学设计
辽宁省抚顺市第一中学 李明
课型：新授课
一、教学内容解析
微积分的创立是数学发展中的里程碑。导数概念是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具，具有丰富的实际背景和广泛的应用。
本节课是高中新教材人教B版选修2-2第一章1.1.2的内容, 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，用形象直观的“逼近”方法定义导数，这是符合学生认知规律的．
函数的瞬时变化率（即导数）
函数的平均变化率

--→

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点

二、 教学目标设置
1知识与技能：
通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。理解导数的概念及符号记法，体会导数的思想及其内涵。
2过程与方法：
通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3情感、态度与价值观：
通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的联系，感受和体会导数在解决实际问题中的作用，培养学习兴趣。学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信心，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识。引入奥运会跳水夺金实例，更是激发了学生的爱国热情。
重点：瞬时变化率、导数的概念

难点：对导数概念的理解及利用导数解决实际问题。
突破策略：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，通过学生亲手计算，传统的计算数据给学生提供了初步的感受和体验；现代的多媒体技术直观、形象展示瞬时速度的形成过程，通过逼近的方法，引导学生观察以突破难点。。
三、学生学情分析
1 有利因素：学生已较好地掌握了函数的平均变化率、平均速度及高一物理学中的瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，学生思维较活跃，具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力；对导数这一新鲜的概念，具有强烈求知欲和渴望探究的积极情感态度，这为本课的学习奠定了基础．
2 不利因素：本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．
四、教学策略分析
1.教法分析
引导教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念．引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．
2.学法分析
在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f(x)在x＝处的导数反映了函数f(x)在x＝处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念。在学法指导上，我回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵。使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升。
五．教学准备
计算器（学生每人一个）、多媒体电脑、课件等。
六．教学过程

环节
教学过程
师生活动
设计意图

创设
情境

导入
新课

问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用6个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?

问题2：
提问：请说出函数y=f(x)在〔x0,x0+,△x〕的平均变化率公式．

公式应用：气球体积r(v)在〔v0,v0+,△v〕内的平均膨胀率如何表示呢？

播出2012伦敦奥运女子双人10米台视频片段，引出问题：

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－49t 2＋6.5t＋10.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：
（1）运动员在这段时间内的速度为0，是否以为着她在这段时间内是静止的？
（2）你认为用平均速度可以准确描述运动员的运动状态吗？

（3）高一物理学中是怎么定义的瞬时速度呢？
（4）我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，求物体在第2S的瞬时速度，应该怎么解决？

（5）我们先来看看物理中是怎么测即时速度（瞬时速度）的

（视频播放“用数字计时器测气轨上滑块的瞬时速度”）

（6）这里所测得的真的是瞬时速度吗？\

教师：（在学生回答的基础上讲述：）
真正的瞬时速度根本无法通过仪器测定，我们将平均速度作为瞬时速度的近似值。

（7）怎样使平均速度更好的表示瞬时速度？（提问：滑块初速恒定时，如何改装仪器能够使得其测出的平均速度更接近瞬时速度？）
稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。如：气球的平均膨胀率；运动员某个时间段内的平均速度等。

学生观看视频片段并思考接下来的问题

(1)在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出 ：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。

(2)这说明平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态提出问题，组织学生讨论、相互交流，引导他们结合物理知识理解，尝试用平均速度去求瞬时速度，引导学生“以已知探求未知”

板书课题：《瞬时速度与导数》

学生观看视频并思考下面两个问题

期望或引导答出“是平均速度”
”
引导提出:
当时间间隔很小时平
均速度就会逼近瞬时
速度，从而确定想法：
计算t=2s附近的平均
速度，细致观察它附
近发生的情况。

激活学生头脑中的原有知识，为引入新课做准备

激发学生的爱国热情。激发学生求知的欲望，从而使学生从要我学”变成“我要学”。

通过数值与现实矛盾的产生，引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述（1）问题具体化为求t=2时刻的瞬时速度，是学生更靠近问题的中心；
通过实际操作来感知解决问题的关键。

使学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲

使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫．

使学生认识到平均速度当时间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型．

循序
渐进

自主
探究
动手实验：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算的值？请你用计算器完成下列表格中t0=2秒附近（存在之前与之后两种情况，而且时间的间隔应足够的小）的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势
(1)完成下表：
Δt

Δt

-0.1
-12.61
0.1
-13.59
-0.01
-13.051
0.01
-13.149
-0.001
-13.0951
0.001
-13.1049
-0.0001
-13.09951
0.0001
-13.10049
……….
….
…….
…
(2)在学生实验与观察的基础上指出：
当趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是t0=2时的瞬时速度
即，v（2）=-13.1（m/s）

(3)由多媒体给出化简t0=2对应的平均速度的表达式．（化简结果为）
引导学生从化简的表达式中发现当△t®0时，®－13.1．
为了表述方便,数学中用简洁的极限符号来表示,即
(4)
学生意识到将代替2,可类比得到=常数

(5)瞬时速度的概念：（多媒体）

教师说明：

(6)借助其它实例，抽象导数的概念
问：气球在体积时的瞬时膨胀率如何表示呢？

学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，组织学生分组计算并讨论，从左边逼近2s时，平均速度有怎样的变化;再让学生计算从右边逼近2s时，平均速度有怎样的变化。

分组讨论，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；

引导学生继续思考:运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示?

与学生一起总结出瞬时速度的概念：

类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示
通过引导使学生进一步体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操作能力，通过亲自动手算、动脑思，让学生初步感受到逼近的趋势。

通过形象生动的逼近思想来定义时刻的瞬时速度, 避免了因极限思想难以理解造成的困难，一切显得顺理成章，助于学生的理解更符合学生的认知规律,提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法

揭示本质，提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法。

用这种方式给出某一时刻的瞬时速度公式，显得顺理成章，更符合学生的认知规律，有助于学生深刻理解导数内涵。
将瞬时速度的形式化表示迁移到瞬时膨胀率上，能帮助学生体会其中的共同点，看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移，进一步理解导数内涵打下基础  

概念
形成

强化
重点

(7)如果将这两个变化率问题中的函数用来表示，那么函数在处的瞬时变化率如何呢？

(8)多媒体给出瞬时变化率及导数公式

在前面两个问题的铺垫下,进一步提出，我们这里研究的函数在处的瞬时变化率即在处的导数,记作
(也可记为)
这时又称f（x）在点x0处是可导的。
引导学生舍弃具体问题的实际意义,抽象得到导数定义,由浅入深、由易到难、由特殊到一般，帮助学生完成了思维的飞跃；同时提及导数产生的时代背景，让学生感受数学文化的熏陶，感受数学来源于生活，又服务于生活。

典例
剖析

突破
难点

例1 求函数y= x2在x=1处的导数

提问：你能说说求函数y=f(x)在x= x0处的导数的步骤吗？

变式训练1：
求y=2x2+4x在x=2和x=a处的导数。

例2 火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，（g≈10m/s2）试问:
1)熄火后多长时间火箭向上的速度为0？
2)火箭在熄火后第5秒和第12秒的瞬时速度是多少？ 并说明它们的意义
学生自主完成，选派学生上台板演，老师进行分析点评

学生分组讨论，总结得出求导的一般步骤

学生组内推荐代表上前板演，其他同学动手求解，教师巡视，并作出评价

加深学生对导数内涵的理解，熟练应用导数的概念进行运算，体验数学在实际生活中的应用
巩固求导的三个基本步骤，加深对导数概念的理解，为后面推到导数公式做铺垫。

通过具体例题的分析,加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用。

巩固
练习

思维
培养
已知一个物体运动的位移（m）与时间（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t
（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度。
（2）求物体在t时刻的瞬时速度。

学生自主完成，选派学生上台板演，老师进行分析点评。
让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律

反 馈
训 练

形 成
方 法
第10页习题A组第1、2 题
A组同学答第1题，B组同学答第2题，然后统计
充分用好教材的习题，以课堂反馈的形式巩固练习，增强学生学习的紧迫感，规范了学生的解题思维。

小 结
整 理

形 成
系 统
1、瞬时速度的概念
2、导数的概念
3、求导数的步骤：
一差、二比、三极限
4、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般。

学生小结，再由其他人补充，完善，教师调控，并用幻灯片给出

让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯

分 层
作 业

深 化
概 念

（必做）第10页习题A组第3、4 题

（选做）：思考第10页习题B组第1题及

补充：

通过分层作业，做到因材施教，使不同的学生在数学上得到不同的发展，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展．

板书
设计
投影

§1.1.2导数的概念
瞬时速度： 例1 变式1） 变式2）
瞬时膨胀率：
瞬时变化率：

七、评价分析

本节课是一节概念的教学课，这样的课往往让学生感到枯燥无味，而且难以掌控。为了避免这种情况的出现，在教学上我以能激发他们学习欲望的林跃北京奥运夺冠的视频引入。显然达到了调动他们学习积极性的效果。不仅激发学生对问题思考也激发他们的爱国热情。
教学过程中，我以问题为主线，遵循特殊到一般，具体到抽象，用已知探究未知的思考方法，从变化率人手，用“逼近”方法定义导数。这样，避免了学生认知水平和知识学习间的矛盾，让学生更多精力用于导数本质的理解上，轻松获取知识。另外，通过动手计算两组平均速度值，并对结果进行观察、分析、讨论、抽象概括出导数的概念，学生提高了动手能力。在相互交流、互相讨论过程中，学生认识了自我，建立了信心。总之，在本节课的教学过程中，我是本着为学生能力发展考虑为原则而展开的，个人认为不仅关注到基础知识和基本技能的掌握，而且关注到学生在数学活动中所表现出来的能力、情感与态度等方面的发展，教学达到了预期的目标。
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