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附加题
一、概率
1．今年雷锋日,某中学预备从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者,学生的名额分配如下:
(I)若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传,求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率;
(II)若将4名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相互独立的),记安排到高一年级的教师人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
高一年级
高二年级
高三年级
10人
6人
4人

解： (I)设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件,则
答:若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动,他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为
(II)解法1:的所有取值为0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为.所以 ; ;
;;
. 随机变量的分布列为:

0
1
2
3
4

所以
解法2: 随机变量服从参数为4,的二项分布,即~.
随机变量的分布列为:

0
1
2
3
4

所以
即X的数学期望是2.
2、某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为
1∶3∶6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
(1)若射击4次，每次击中目标的概率为且相互独立．设表示目标被击中的次数，求的分布列和数学期望E()；
(2)若射击2次均击中目标，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件A发生的概率．
解：(1)依题意知ξ～B，ξ的分布列：
ξ
0
1
2
3
4
P

数学期望
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)法一：设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2,3.
Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2,3.
依题意，知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，
A＝A11∪1B1∪A1B1∪A2B2，所求的概率为
P(A)＝P(A11)＋P(1B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)
＝P(A1)P(1)＋P(1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)
＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.
即事件A发生的概率为0.28.
法二：记“第一部分至少击中一次”为事件C，“第二部分被击中二次”为事件D，
则P(C)＝C0.1×0.9＋0.1×0.1＝0.19
P(D)＝0.3×0.3＝0.09.
P(A)＝P(C)＋P(D)＝0.28.
即事件A发生的概率为0.28.
3、如图,,,,在线段上任取一点,试求:
(1)为钝角三角形的概率;
(2)为锐角三角形的概率.

解：
为钝角三角形的概率为(2) 为锐角三角形的概率为
如图,由平面几何知识:
当时,;
当时,,.
(1)当且仅当点在线段或上时,为钝角三角形,
记＂为钝角三角形＂为事件,则,
即为钝角三角形的概率为.
(2)当且仅当点在线段上时,为锐角三角,
记＂为锐角三角＂为事件,则,
即为锐角三角形的概率为.

4、如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B,C,D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X（三点共线时，规定X=0）
（1）求；（2）求E（X）
解：⑴从六点中任取三个不同的点共有个基本事件，
事件“”所含基本事件有，从而．

⑵的分布列为：

则．
答：，．…………………………………………10分

二、复合函数的导数
5、设b>0，函数，记（是函数的导函数），且当x = 1时，取得极小值2．
（1）求函数的单调增区间；
（2）证明．
解：（1）由题．
于是，若则，与有极小值矛盾，所以．
令，并考虑到，知仅当时，取得极小值．
所以解得．…………………………………4分
故，由，得，所以的单调增区间为．
（2）因为，所以记

因为，
所以，故．…10分

6、已知函数
(1)若函数在，求的值；
(2)如图，设直线，将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(不含边界)，若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；
(3)比较与的大小，并说明理由．

解：(1)f(x)＝(2x＋1)ln(2x＋1)－a(2x＋1)2－x(a>0)，
f′(x)＝2ln(2x＋1)－4a(2x＋1)＋1.
∵f(x)在x＝0处取极值，
∴f′(0)＝－4a＋1＝0.
∴a＝.
(2)因为函数的定义域为，且当x＝0时，f(0)＝－a<0.又直线y＝－x恰好通过原点，
所以函数y＝f(x)的图象应位于区域Ⅳ内，于是可得f(x)<－x，
即(2x＋1)ln(2x＋1)－a(2x＋1)2－x<－x.∵2x＋1>0，∴a>.
令h(x)＝，∴h′(x)＝.
令h′(x)＝0，得x＝.
∵x>－，∴x∈时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
x∈时，h′(x)<0，h(x)单调递减．
∴hmax(x)＝h＝.
∴a的取值范围是.
(3)由(2)知，函数h(x)＝在
x∈时单调递减，
函数p(x)＝在x∈(e，＋∞)时单调递减．
∴<，
∴xln(x＋1)<(x＋1)ln x.
∴ln(x＋1)xk0.
则当n＝k＋1时，
ak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1＝1＋－＝>0，
所以n＝k＋1时，不等式成立．
综合①②可知，不等式an法的应用以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．这类问题以排列组合为主线，利用数学归纳法进行推理．利用导数研究函数的单调性证明ln(k＋1)②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即2ln k！Fn.

9、若其中。
(1)求及；
(2)试比较与的大小，并说明理由．
解：(1)取x＝1，则a0＝2n；
取x＝2，则a0＋a1＋…＋an＝3n，
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－2n.
(2)要比较Sn与(n－2)2n＋2n2的大小，
即比较3n与(n－1)2n＋2n2的大小，
当n＝1时，3n>(n－1)2n＋2n2；
当n＝2,3时，3n<(n－1)2n＋2n2；
当n＝4,5时，3n>(n－1)2n＋2n2，
猜想：当n≥4时，3n>(n－1)2n＋2n2.
下面用数学归纳法证明：
①由上述过程可知，n＝4时结论成立，
②假设当n＝k，(k≥4)时结论成立，
即3k>(k－1)2k＋2k2，
两边同乘以3得3k＋1>3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]，而(k－3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k＋1)＋6>0，
所以3k＋1>2k＋1＋2(k＋1)2，即n＝k＋1时结论也成立．
由①②知当n≥4时，3n>(n－1)2n＋2n2成立．
综上所述，当n＝1时，Sn＞(n－2)2n＋2n2；
当n＝2,3时，Sn＜(n－2)2n＋2n2；
当n≥4时，Sn＞(n－2)2n＋2n2.

四、二项式定理
10、已知()是给定的某个正整数，数列满足：，，其中k＝1，2,3，…，.[来源:学科网]
(1)设＝4，求，，；
(2)求.
解：(1)由(k＋1)ak＋1＝p(k－p)ak，
得＝p×，k＝1,2,3，…，p－1，
即＝－4×＝－6，a2＝－6a1＝－6；＝－4×＝－，a3＝16；
＝－4×＝－1，a4＝－16.
(2)由(k＋1)ak＋1＝p(k－p)ak，得＝p×，k＝1,2,3，…，p－1，
即＝－p×，＝－p×，…，＝－p×，
以上各式相乘得：＝(－p)k－1×，
∴ak＝(－p)k－1×
＝(－p)k－1×＝×
＝－(－p)k－2×C＝－C(－p)k，k＝1,2,3，…，p.
∴a1＋a2＋a3＋…＋ap
＝－[C(－p)1＋C(－p)2＋C(－p)3＋…＋C(－p)p]
＝－[(1－p)p－1]．
11、设二项展开式的整数部分为，小数部分为，试用二项式定理推导和.
解：因为Cn＝(＋1)2n－1＝C()2n－1＋C()2n－2＋…＋C＋C，①
而(－1)2n－1＝C()2n－1－C()2n－2＋…＋C－C，②
①—②得：(＋1)2n－1－(－1)2n－1＝2(C·()2n－2＋C()2n－4＋…＋C)∈N*.
而0<(－1)2n－1<1，所以An＝(＋1)2n－1－(－1)2n－1，Bn＝(－1)2n－1.
12、已知．
(1)若，求证：是奇数；
(2)求证：对于任意，都存在正整数，使得.
证明：(1)由二项式定理，得an＝C＋C＋C()2＋C()3＋…＋C()n，
所以a＝C＋C()2＋C()4＋…＝1＋2C＋22C＋…，
因为2C＋22C＋…为偶数，所以a是奇数．
(2)由(1)设an＝(1＋)n＝a＋b(a，b∈Z)，
则(1－)n＝a－b，
所以a2－2b2＝(a＋b)(a－b)＝(1＋)n(1－)n＝(1－2)n.
当n为偶数时，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，
使得an＝a＋b＝＋＝＋，
当n为奇数时，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，
使得an＝a＋b＝＋＝＋，
综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，
使得an＝＋.

五、曲线与方程及抛物线
13、在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求过焦点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
(3)设过点M(m,0)（)的直线交抛物线C于D，E两点，
ME＝2DM，记D和E两点间的距离为，求关于m的表达式．

本小题主要考查直线、抛物线方程及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力．
解：
(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px.因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p＝1.因此，抛物线C的标准方程为y2＝2x.
(2)由(1)可得焦点F的坐标是，又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x＋y－＝0.
(3)法一：设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是y＝k(x－m)，k≠0.
将x＝＋m代入y2＝2x，有ky2－2y－2km＝0，解得y1,2＝.
由ME＝2DM，知1＋＝2(－1)，化简得k2＝，
因此DE2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(y1－y2)2＝＝(m2＋4m)．
所以f(m)＝ (m>0)．
法二：设D，E，由点M(m,0)及＝2
得t2－m＝2，t－0＝2(0－s)．

因此t＝－2s，m＝s2，
所以f(m)＝DE＝ ＝ (m>0)．

14、（Ⅰ）过直线上的动点P作抛物线的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)若切线PA，PB的斜率分别为，求证：为定值；
(2)求证：直线AB恒过定点．
证明：(1)不妨设A(t，2t1)(t1>0)，B(t，2t2)(t2<0)，P(－2，m)．
因为y2＝4x，所以当y>0时，y＝2，y′＝，所以k1＝.同理k2＝.
由k1＝＝，得t－mt1－2＝0.同理t－mt2－2＝0.
所以t1，t2是方程t2－mt－2＝0的两个实数根．
所以t1t2＝－2.所以k1k2＝＝－为定值．
(2)直线AB的方程为y－2t1＝(x－t)，
即y＝x＋2t1－，
即y＝x＋，由于t1t2＝－2，
所以直线方程化为y＝(x－2)，
所以直线AB恒过定点(2,0)．
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线上有两个动点A，B，且满足＝， 过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.
(1)求：·的值；
(2)证明：·为定值．
解：(1)设A，B，
∵焦点F(0,1)，∴＝，＝.
∵＝λ，
∴消λ，得x1＋x2＝0.
化简整理得(x1－x2)＝0.
∵x1≠x2，∴x1x2＝－4.
∴y1y2＝·＝1.
∴·＝x1x2＋y1y2＝－3.
(2)证明：抛物线方程为y＝x2，∴y′＝x.
∴过抛物线A，B两点的切线方程分别为[来源:学科网ZXXK]
y＝x1(x－x1)＋和y＝x2(x－x2)＋，
即y＝x1x－和y＝x2x－.
联立解出两切线交点M的坐标为.
∴·＝·
＝－＝0(定值).

15、对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C经过两点，(其中为正常数)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设动点T(m,0)()，直线AT，BT与抛物线C的另一个交点分别为，，当m变化时，记所有直线组成的集合为M，求证：集合M中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．
解：(1)当抛物线焦点在x轴上时，
设抛物线方程y2＝2px，
∵∴p＝2a.
∴y2＝4ax.
当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程x2＝2py，
∵方程无解，∴抛物线不存在．
综上抛物线C的方程为y2＝4ax.
(2)设A1(as2,2as)，B1(at2,2at)，T(m,0)(m>a)．
∵kTA＝kTA1，∴＝，
∴as2＋(m－a)s－m＝0.
∵(as＋m)(s－1)＝0，∴s＝－，∴A1.
∵kTB＝kTB1，∴＝.
∵2at2＋(m－4a)t－2m＝0，∴(2at＋m)(t－2)＝0.
∴t＝－.∴B1.
∴直线A1B1的方程为y＋2m＝.
∵直线的斜率为－在(a，＋∞)单调，
∴集合M中的直线必定相交．
∵直线的横截距为－在(a，＋∞)单调，纵截距为－在(a，＋∞)单调，
∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．

16、已知斜率为的直线过抛物线C：的焦点F且交抛物线于A，B两点．设线段AB的中点为M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若时，点M到直线：（m为常数，)的距离总不小于，求m的取值范围．
解：(1)焦点F(1,0)，直线AB方程为y＝k(x－1)，
因为k≠0，所以x＝＋1.
由得y2－y－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，显然Δ>0恒成立，则y0＝＝.
又x0＝＋1，消去k ，得y＝2(x0－1)，
所以点M的轨迹方程为y2＝2(x－1)．
(2)由(1)知，点M.
因为m<，所以d＝＝.
由题意，得≥，m≤＋＋2对－2y1＝x－，即x－y＋y1－＝0，
P到AB的距离为d＝，
AB＝＝|y1－y2|＝2|2－y1|，
所以S△PAB＝××2|2－y1|
＝|y－4y1－12||y1－2|
＝|(y1－2)2－16||y1－2|，
令y1－2＝t，由y1＋y2＝4，y1≥0，y2≥0，可知－2≤t≤2.S△PAB＝|t3－16t|，
因为S△PAB＝|t3－16t|为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，
记f(t)＝|t3－16t|＝16t－t3，f′(t)＝16－3t2>0，故f(t)在[0,2]是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)＝24，故S△PAB的最大值为6.

六、空间向量
18、如图，在三棱锥P—ABC中，平面ABC⊥平面APC，
AB＝BC＝AP＝PC＝，∠ABC＝∠APC＝.
(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
(2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角M－PA－C的余弦值为，求BM的最小值．
考查空间向量在立体几何中的应用，求出平面的法向量是解题的关键．
解：
(1)取AC中点O，∵AB＝BC，∴OB⊥OC.
∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC＝AC，
∴OB⊥平面PAC.∴OB⊥OP.
以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴
建立如图所示空间直角坐标系．
∵AB＝BC＝PA＝，∴OB＝OC＝OP＝1.
从而O(0,0,0)，B(1,0,0)，A(0，－1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，1)，
∴＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(0,1,1)．
设平面PBC的法向量n1＝(x，y，z)，
由·n1＝0，·n1＝0得方程组取n1＝(1,1,1)，
∴cos〈，n1〉＝＝.
设PA与平面PBC所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n1〉|＝.
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.
(2)由题意平面PAC的法向量n2＝(1,0,0)．
设平面PAM的法向量为n3＝(x，y，z)，M(m，n,0)．
∵＝(0,1,1)，＝(m，n＋1,0)，
又∵·n3＝0，·n3＝0，
∴取n3＝.
∴cos〈n2，n3〉＝＝＝.
∴2＝9.∴n＋1＝3m或n＋1＝－3m(舍去)．
∴＝(m,3m,0)．又＝(1,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝.
则sin〈，〉＝，
∴d＝AB·＝.
∴B点到AM的最小值为垂直距离d＝.

19、在三棱锥S—ABC中，底面是边长为的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点，侧棱SA和底面成角．
(1) 若D为侧棱SA上一点，当为何值时，BDAC；
(2) 求二面角S—AC—B的余弦值大小．
解：
以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OS为z轴
建立空间直角坐标系．因为△ABC是边长为2的正三角形，
又SA与底面所成角为45°，所以∠SAO＝45°.所以SO＝AO＝3.
所以O(0,0,0)，C(，0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B(－，0，0)．
(1) 设AD＝a，则D，
(2) 所以＝，
＝(，－3,0)．若BD⊥AC，则·＝3－3＝0，
解得a＝2，而AS＝3，所以SD＝.
所以＝＝.
(2)因为＝(0，－3,3)，＝(2，0,0)．
设平面ACS的法向量为n1＝(x，y，z)，
则
令z＝1，则x＝，y＝1，所以n1＝(，1,1)．
而平面ABC的法向量为n2＝(0,0,1)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝，显然所求二面角的平面角为锐角，
故所求二面角的余弦值的大小为.

20、如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，
且满足＝λ.
(1)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？
(2)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．
解：(1)以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A—xyz，则N，P(λ，0,1)，则＝，
平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈，当θ最大时，sin θ最大，所以当λ＝时，sin θ最大，θ也最大．
(2)已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，即可得到平面ABC的一个法向量为n＝＝(0,0,1)，设平面PMN的一个法向量为m＝(x，y，z)，＝.
由得
解得
令x＝3，得m＝(3,2λ＋1,2(1－λ))，于是由
|cos〈m，n〉|＝
＝＝，解得λ＝－，
故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝.

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