圆周率的近似计算.doc

实验二 的近似计算

一.实验目的
1.了解 的计算历程
2.理解和掌握近似计算的数值积分法、蒙特卡罗（Monte Carlo）法、韦达公式、级数法、拉马努金公式、迭代法等方法的原理和过程。
3.学习、掌握Mathematica和MATLAB的应用环境及其基本功能，通过一些练习掌握其基本的操作及相关命令。
二.实验内容
1.运用数值积分法来近似计算的值。
2.利用蒙特卡罗（Monte Carlo）法来近似计算的值。
3.利用韦达（VieTa）公式
近似计算的值
4.利用级数来近似计算：
（1） 莱布尼茨级数
（2） 欧拉级数 和
5.利用拉玛努金（Ranmaunujan）公式来近似逼近计算值

三.实验准备及过程
是人们经常使用的数字常数，对的研究已经持续了2500多年，同时今天人们还在不断的探索研究进行中。一般有以下几种近似计算方法。
1.数值积分法
半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于，只要计算出它的面积，计算出了。
以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分是一个扇形，由曲线y= (x∈[0,1])及两条坐标轴围成，它的面积S=/4。算出了S的近似值，它的4倍就是π的近似值。
（1）梯形公式
设分点x1,…,xn-1将积分区间[a,b]分成n等份，即xi=a+i(b-a)/n,0≤i≤n所有的曲边梯形的宽度都是h=(b-a)/n。记yi=f(xi)。则第i个曲边梯形的面积Si近似地等于梯形面积(yi-1+yi)h/2，将所有这些梯形的面积加起来就得到
S≈(b-a)[y1+y2+…+yn-1+(y0+yn)/2]/n
这就是梯形公式。
（2）辛普森公式
仍用分点xi=a+i(b-a)/n（1≤i≤n-1）将区间[a,b]分成n等份，直线x=xi(1≤i≤n-1)将曲边梯形分成n个小曲边梯形。再作每个小区间[xi-1,xi]的中点xi-1/2=a+(i-1/2)(b-a)/n。将第i个小曲边梯形的上边界y=f(x)(xi-1≤x≤xi)近似地看作经过三点(x,f(x)),(x=xi, xi-1/2, xi)的抛物线段，则可求得Si≈(b-a)(yi-1+4yi-1/2+yi)/6n，其中yi-1/2=f(xi-1/2)。于是得到

这就是辛普森公式。
在Mathematica环境下，利用梯形公式、辛普森公式近似逼近值，具体执行指令语句和结果如下图：

2.泰勒级数法
利用反正切函数的泰勒级数
arctanx=x-x3/3+x5/5-…(-1)k-1x2k-1/2k-1计算。
在Mathematica环境下，具体执行指令语句和结果如下图：

实验结果，发现花费的时间很长，所得的结果的准确度却很差，其原因是由于当x=1时得到的arctan1展开式π/4=arctan1≈1-1/3+1/5-…+(-1)k-1x2k-1/2k-1+…收敛得太慢。
怎样才能使泰勒级数arctanx=x-x3/3+x5/5-…(-1)k-1x2k-1/2k-1收敛地快？容易想到，应当使x的绝对值小于1，最好是远比1小，这样，随着指数的增加，x的幂快速接近于0，泰勒级数就会快速收敛。比如，取x=1/2得到arctan(1/2)的就收敛得快。
3.蒙特卡罗（Monte Carlo）法
在数值积分法中，我们利用求单位圆的1/4的面积来得到π/4，从而得到π。单位圆的1/4是一个扇形G，它是边长为1的单位正方形G1的一部分。单位正方形G1的面积S1=1。只要能够求出扇形G的面积S在正方形G1的面积中所占的比例k=S/S1，就能立即得到S，从而得到π的值。
怎样求出扇形面积在正方形面积中所占的比例k？一个办法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投点的总数n的比m/n可以作为k的近似值。
在Mathematics中，产生[0,1]中内均匀分布的随机数的语句是Random[]。产生两个这样的随机数x,y，则以（x,y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件是x2+y2≤1。这样利用随机数来解决问题的数学方法称为蒙特卡罗法。
在Mathematica环境下，具体执行指令语句和结果如下图：

4. 韦达（VieTa）公式，此公式给出了计算的精确表达式：
计算的近似值。
在MATLAB环境下，输入以下指令：
>> x=1;
>> for i=1:20
i
x=vpa(x*cos(pi/2^(i+1)),30);
pai=vpa(2/x,22)
error=vpa(pi-2/x,22)
end
运行结果如下：
i=1 pai=2.828427124746190097603 error =.313165528843603140860
i=2 pai=3.061467458920718232298 error =.80125194669075006165e-1
i=3 pai=3.121445152258052404216 error =.20147501331740834247e-1
i=4 pai=3.136548490545939249125 error =.5044163043853989338e-2
i=5 pai =3.140331156954752858963 error =.1261496635040379500e-2
i 6 pai =3.141277250932772720892 error =315402657020517571e-3
i= 7 pai =3.141513801144301048318 error =.78852445492190145e-4
i= 8 pai =3.141572940367091461583 error =.19713222701776880e-4
i= 9 pai =3.141587725277159716287 error =.4928312633522176e-5
i=10 pai =3.141591421511200086037 error =.1232078593152426e-5
i=11 pai =3.141592345570117830926 error =.308019675407537e-6
i=12 pai =3.141592576584872625535 error =.77004920612928e-7
i=13 pai =3.141592634338562821891 error =.19251230416572e-7
i=14 pai =3.141592648776985437337 error =.4812807801126e-8
i=15 pai =3.141592652386591008149 error =.1203202230314e-8
i=16 pai =3.141592653288992575505 error =.300800662958e-9
i=17 pai =3.141592653514592792966 error =.75200445497e-10
i=18 pai =3.141592653570993021726 error =.18800216737e-10
i=19 pai =3.141592653585093078916 error =.4700159547e-11
i=20 pai =3.141592653588617918820 error = .1175319643e-11
四.实验总结和结果分析
通过在Mathematica和MATLAB环境下，对进行近似计算的实验操作，一方面加深了我对数值积分法、蒙特卡罗（Monte Carlo）法、韦达公式、级数法、拉马努金公式、迭代法等方法的原理和过程进一步理解，另一方面也提高了我上机实验的操作能力，同时也熟悉了Mathematica和MATLAB的应用环境及基本功能，掌握了其基本的操作和相关命令。