重力加速度的测定.doc

重力加速度的测量
摘要：在高中物理的学习中有多种测量重力加速度的方法，如：“滴水法测量重力加速度”、“利用机械能守衡测量重力加速度”等等，本文介绍利用 “单摆”、“复摆”、“弹簧振子”、“气垫导轨测定”这四种方法测量重力加速度。
关键词：单摆 复摆 弹簧振子 气垫导轨 重力加速度 周期
一、引言：在本实验中，用以下四种方法测量重力加速度，将其所测结果进行比较并得出较为精确的测量方法及其测量值。
二、实验内容：
实验目的：
1． 掌握用单摆，复摆，弹簧振子，气垫导轨测定当地的重力加速度的方法。
2． 学习所涉及仪器的使用方法。
3． 了解不同测量方法的特点及精度。
方法一：单摆法
应用单摆来测量重力加速度是实验室常用的一种方法, 其方法简单方便, 因为单摆的振动周期是决定于振动系统本身的性质, 即决定于重力加速度g和摆长l, 只需要量出摆长l, 并测定摆动的周期T, 根据单摆小球做接近简谐振动时的周期就可以算出g值。
实验原理 ：
如图（1）所示，当单摆的摆角很小（小于50）时，可看作简谐运动，其固有周期为，由公式可得故只要测定摆长l和单摆的周期T，即可算出重力加速度g。
实验器材：长约1米的细线、小铁球、铁架台（连铁夹）、米尺、秒表。
实验步骤
（1）将细线的一端穿过铁球上的小孔并打结固定好，线的另一端固定在铁架台上，构成一个单摆。
图（1）
（2）用毫米刻度的米尺测定单摆的摆长l（摆线静挂时从悬挂点到球心的距离）。
（3）让单摆摆动（摆角小于50），测定n（30）次全振动的时间t，用公式 求出单摆的平均周期T；
（4）用公式算出重力加速度g。
实验数据记录、处理：
对同一单摆摆长多次测量周期，用计算法求重力加速度。测量数据如下表：
项目
直径
摆线长
振动次数
时间
平均周期
1
15.22
65.6
30
49.09
1.636
2
15.22
65.5
30
49.02
1.634
3
15.14
65.6
30
49.13
1.638
4
15.18
656
30
48.98
1.632
5
15.20
65.5
30
49.01
1.634
6
15.20
65.6
30
49.07
1.636
平均值
15.19
65.6
30
49.05
1.635
单摆摆长数据处理：
cm ；cm
米尺 ；cm
游标卡尺 ；cm
cm ；cm
cm ；cm
单摆周期数据处理：
； 0.0021s
0.0023s ； （1.6350.0023）s
求得g的近似值：978.48cm/s2
；=3.71
实验结论： 。
注意事项：
1、 细线不可伸缩，长度约1m。小球应选用密度较大的金属球，直径应较小（最好不超过2㎝）。
2、 单摆的上端不要卷在夹子上，而要用夹子加紧，以免单摆摆动时摆线滑动或者摆长改变。
3、 最大摆角小于5º，可用量角器测量，然后通过振幅来掌握。
4、 摆球摆动时要在同一个竖直平面内。
5、 计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低点时开始计时，以后摆球从同一方向通过最低点时进行计数，且在数零的同时按下秒表，开始计时计数，并且要测多次全振动的总时间，然后除以振动次数，如此反复三次，求得周期的平均值作为单摆的周期。
方法二：复摆法
实验原理：
如图（2），在重力作用下能绕固定水平转轴在竖直面内自由摆动的刚体称为复摆（物理摆）。设刚体的质量为m，重心G 到转轴O 的距离为h，绕O 轴的转动惯量为I，当OG 连线与铅垂线的夹角为时，刚体受到的重力矩：
（1）
图（2）
式中的负号表示力矩的方向与角位移的方向相反。当摆角<5°时， ，此时：
（2）
于是由刚体转动定律可得：
（3）
令,可得复摆的动力学方程：
（4）
其摆动周期：
（5）
若令，则复摆的周期公式可改写为：
（6）
它与单摆的周期公式相同，因而又把L' 称为复摆的等值单摆长（即等效摆长）。可见，只要能测出复摆的周期T 及其等效摆长L' 就可求出重力加速度g：
（7）
复摆的周期可以测得非常精确，但直接测量L' 相当困难，一是重心G 的位置不易确定，h 难以精确测定；二是复摆不可能做成密度均匀的理想形状，其I 难以精确计算。不过，可以利用复摆的共轭特性来间接测量L' 。
如图（3），复摆的共轭特性是指在重心G 的两旁总可以找到两个共轭点O和O΄（与重心三点共线），当两点之间的距离等于等效摆长L' 时，以O 为悬点的摆动周期和以O΄为悬点的摆动周期正好相等。证明如下：设复摆对重心G 轴的转动惯量为IG，根据平行轴定理可得复摆对转轴O到重心的距离为h的转动惯量：

图（3）
（8）
复摆以O 为悬点的等效摆长：
（9）
同理可以求得复摆以O΄为悬点（到重心的距离为L΄-h）的等效摆长：
（10）
将（9）式变形有，于是由（10）式可得L′′ = L′ 。可见，以O΄为悬点的等效摆长与以O 为悬点的等效摆长相同，因而它们的摆动周期也相同，都等于：
（11）
根据复摆的这一共轭特性，只要能找到T = T ′的两个点O 和O΄，测出其间距OO′ 就可得到与复摆周期T 相对应的等效摆长L' 。
实验仪器：J-LD23 型复摆实验仪，数字毫秒计，光电门。
操作步骤：
1、按照h 从小到大或从大到小的顺序，先测出它在某个小孔处的周期T，并从摆杆上直接读出悬点到摆杆中心的距h。
2、找到第一步时的悬点（小孔）关于摆杆重点的对称点(小孔)，然后测出期摆动周期T ′。
3、重复1、 2步，测15对对称小孔，填表 。
实验数据记录：
物理量
次数

1
2.00
2.809
2.704
2
4.00
1.991
1.958
3
6.00
1.662
1.645
4
8.00
1.486
1.478
5
10.00
1.380
1.377
6
12.00
1.315
1.308
7
14.00
1.278
1.268
8
16.00
1.261
1.258
9
18.00
1.246
1.247
10
20.00

1.248
1.250
11
22.00
1.251
1.255
12
24.00
1.261
1.261
13
26.00
1.274
1.273
14
27.00
1.286
1.284
15
28.00
1.291
1.289
数据处理：
① 周期T 与悬点位置h 之间的关系曲线如图（4）：
图（4）

② 在坐标图上作一条T=Ti 的直线MN，它与T～h 曲线有a、b、c、d 四个交点（其中a 与c 共轭、b 与d 共轭）如图（5）：
图（5）

③ 由交点坐标（a=-24.56,b=-14.49,c=14.71,d=25.01）计算与复摆周期Ti 相对应的等效摆长=。
④ 故
相对不确定度
实验结论： 。
方法三：用弹簧振子测定重力加速度
实验原理
根据胡克定律:在弹性限度内，由于弹簧的伸长(或压缩)所产生的弹性恢复力即弹簧产生的张力(或压力)的大小F正比于弹簧的伸长(或压缩)，即
（1）
式中比例系数k称为该弹簧的弹性系数.
如图（6）所示，设弹簧一端固定，另一端未悬挂物体并且未考虑弹簧所受到的重力影响时其相对位置为，若弹簧由于自身质量的原因产生的等效质量为，悬挂重物质量为m时，弹簧末端位置为，此时弹簧在重力作用下伸长为x。，即
图（6）
， (2)
(3)
由(2)式可解出.式中，g，k，均
为常数，令，则
（4）
(4)式为一线性方程，若m改变，也将随之作线性变化，作与m之间关系图线可得一直线，其斜率为
若将弹簧再向下拉伸一段距离后松手.这时弹簧将振动起来，设弹簧在某一时刻运动到P点，此时弹簧振子受到两个力，一个是重力(m+m。)g，另一个是弹性恢复力.我们以向下的方向为x轴正方向，可列出运动方程。

，
，

因为，所以
(5)
解此方程可得:

即 (6)
式中项是由于弹簧等效质量对弹簧振子振动
周期的影响.由于k、均为常量，可令;
,，则有
(7)
这是一线性回归方程，其中为该方程的截距，为斜率.当m改变时Y也将随之作线性改变，作Y与m之间关系图线或用最小二乘法进行一元线性回归，可以得到h和m。，利用从图线得到的，可以得到重力加速度。
实验装置
图（7）
测量装置主要由焦利秤、弹簧、祛码、电子秒表等组成焦利秤是弹簧秤的一种，如图（7）所示，它的主要部分是一立柱A和一有毫米刻度的圆柱B、在A柱的上端固定一游标V，B上可以悬挂弹簧D，转动旋钮E可以升降B和D，G为弹簧末端上选定的标记(也可以在悬挂重物(祛码)的杆上栓一细线或十字细丝作为标记).M为平面镜.镜面上有一标线，测量时使G标记及其在平面镜中的像以及镜面标线三者始终重合(三者相重合时的G的位置即为x:点，这样可保持G的位置不变.普通弹簧秤是上端固定，在下端加负载后则向下伸长，焦利秤则相反，它是使弹簧下端(G)的位置保持一定，加负载后向上拉伸弹簧确定伸长值。
实验步骤：
(1)将弹簧挂在焦利秤上，在弹簧下端挂上祛码杆，调节支架的底脚螺旋，使祛码杆竖直穿过平面镜支架上圆孔的中心，这时弹簧将与A柱平行(即与刻度尺平行)。
(2)在祛码杆上挂一祛码，设此时弹簧下端所悬挂的祛码(包括珐码杆)的质量为，调节旋钮E使G标记及其在平面镜M中的像及镜面标线三者重合，从游杆V处读出B标尺上的读数。
(3)将祛码轻轻向下拉或向上托起5mm左右松手让其自由振动;用电子秒表测量连续振动50次或100次的振动时间从而求出振动周期。
(4)依次改变祛码使为，，…，，时，测量相应的读数，，…，，及振动周期，，…，.
(5)用作图法或回归分析法求，k和m。，从而计算出重力加速度g的大小.
实验数据记录：

5
7.10
21.74
22.06
21.71
2193
21.88
21.864
478.03
10
11.98
25.57
25.49
25.48
25.56
25.51
25.522
651.37
15
16.81
28.65
28.62
28.65
28.70
28.62
28.648
820.71
20
21.61
31.45
31.48
31.48
31.48
31.54
31.486
991.37
25
26.55
34.12
34.16
34.07
34.13
34.10
34.116
1163.90
30
33.00
36.54
36.56
36.54
36.59
36.56
36.558
1136.49
测量说明：对于确定的弹簧振子，它的振动周期在振动过程中基本上未发生变化，具有较好的等时性，故原理部分推导的简谐振动方程（6）是成立的。
根据最小二乘法数据处理原理，对线性回归方程,有
； ； .
式中

为反映变量x与y之间线性关系密切程度的线性相关系数。

回归直线的标准偏差为。
回归系数的标准偏差为
图（8）

对于式（4）， （拟合直线见图（8）），
将相应的测量数据代入计算可得：

所以，
对于式（7），（拟合直线见图（9）），将相应的测量数据代入进行计算可得：
；；
图（9）
图（9）
，，。
所以；，
因为及之中所含的k均系同一弹簧的k值，其测量相对误差基本相同，根据误差理论为避免重复计算扩大测量误差，取测量误差较大的来计算测量重力加速度的误差值。

实验结论：
方法四：气垫导轨法
气垫导轨法测量加速度也是目前实验室方法之一。由于气垫导轨是一种阻力极小的力学实验装, 是使清行器能在导轨上作近似不受阻力的直线运动, 极大地减小了在力学实验中由于摩擦力的存在而出现的误差, 使实验结果接近理论值,实验现象更加真实、直观和易于接受。
实验原理：如图(10), 把已调平的气垫一端抬起, 测重力加速度。由于气垫导轨本身的特点, 滑块在气轨上运动时, 滑块与气轨之间的摩擦力可忽略不计, 但滑块运动时的空气阻力一般是不能消除的, 故用测重力加速度是不准的。
.
图（10）
不论滑块在气轨上从上向下, 还是从下向上运动都有空气阻力f, 且了不是常数,f=f(v) 。
物体下滑时，如图（11)
（1）

图（11）

物体上滑时，如图（12）
（2）
图（12）
我们知道是空气阻力与v的函数, 当比较小时, , 设、。分别是物体上升时通过第一、第二个光电门的速度, 、分别是物体下降时通过第一、第二个光电门的速度, 、分别为物体上升、下降时所受空气阻力。、可能不等, 如能控制=,= 。则有=。所以，（1）+（2）则有
（3）
（4）
由于空气阻力不易测量，所以这种方法所测实验结果精确度不高，以下是利用机械能守恒，动量守恒等原理对此实验的改进。
图（13）
实验装置如图(13)仅在导轨下端加装一弹性圈P.根据牛顿第二定律, 当滑块从上往下滑时, 满足
(5)
当滑块m与弹性圈P碰撞后(近于弹性碰撞)从下往上运动时, 有
(6)
联式（5）和（6）可得到
（7）
根据式（7）实验时只需分别测出滑块下滑时平均速度1和加速度a1, 及上滑时平均速度2和加速度a2的值就可求出当地重力加速度
实验仪器：QG-4型气垫导轨、两个MUT-Ⅲ 弹簧
实验内容与步骤：
１、将气垫导轨调成水平状态。
２、抬高导轨一端，测得H（11.6cm）、L（114.0cm）和S（70cm），让滑块从斜面顶端同一位置处由静止开始下滑，测出滑块下滑和上滑时经过两光电门的时间、、、，其通过A与B两光电门的平均速度和加速度分别由下式给出：
、（其中d=5.01mm为挡光片的宽度）；
3、根据（7）式计算重力加速度，分析数据。
数据记录处理：
下滑
1
2
3
4
5

6.84
6.81
6.86
6.82
6.83

4.42
4.41
4.41
4.42
4.41

0.93297
0.935869
0.933188
0.934044
0.934791

0.780511
0.785976
0.782701
0784123
0.781356

上滑
1
2
3
4
5

9.45
9.37
9.41
9.36
9.42

4.86
4.83
4.85
4.85
4.86

0.53450
0.53528
0.54089
0.53225
0.53754

0.558295
0.564310
0.559718
0.557549
0.557014

由以上数据得、、、的平均值分别为：0.93417、0.55938、0.78293、0.53609。从而

相对不确定度
实验结论： 。
三、实验误差分析：（1）单摆：本实验系统误差主要来源于单摆模型本身。即：悬点是否固定，单摆的球、线是否符合要求，振动是否在同一竖直平面内以及测量哪段长度作为摆长等等。本实验偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量上。因此，要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，不能多记振动次数。
（2）复摆：本实验系统误差主要来源于复摆的摆动不能很好的控制在同一平面摆动；实验前没有很好的调节复摆对称；复摆摆动可能幅度过大。
（3）弹簧振子：在上述测量中，因为，。根据间接测量的误差传递公式分析；。而；误差项中所含与误差中所含均属同一质量误差，因此对测量结果的影响不能重复计算只取一次，即有从上式可以看出测量g的误差主要由3部分构成，即；；。其中周期T的测量误差传递系数为2，并且T的测量值本身就比较小，所以将在整个误差中占有较大的比重。
（4）气垫导轨：气垫导轨是目前普通物理实验中一种常用仪器.在气垫导轨实验中，由于气垫的漂浮作用，使在力学实验中难以处理的滑动摩擦力转化为气层间的粘滞性内摩擦力，使该因素引起的误差减小到近可忽略的地位；其次在计时方法上又采用了光电计时手段，使时间的测量精度达到103~104的量级。

四、综述：通过几种不同的实验方法, 发现其测量得到的重力加速度均与理论上当地地区的重力加速度的值有一定的误差。虽然这与实验所在地的高度、纬度及受到空气阻力有关, 但也离不开操作过程中的实验误差。因此我们在实验操作过程中必须严格按照操作步膝, 尽量把误差缩小到最小范围。通过比较, 不确定度的计算, 理论分析, 可见几种测量重力加速度的方法中, 气垫导轨法测量出的重力加速度误差相对来说较小, 与理论值比较接近, 因此,利用气垫导轨法测量重力加速度是我们实验室测量的一种最佳的实验方法。

参考文献：
【1】杨述武.普通物理实验【M】.北京：高等教育出版社，2000：06-108。
【2】李寿松.物理实验教程【M】.北京：高等教育出版社，2003：97-78。
【3】张雄等.物理实验设计与研究【M】.北京：科学出版社，2001：112-113。
【4】俞飞等.大学物理实验【M】.北京：中国科学技术出版社，2004：64-65。
【5】张宇翔等.新编大学物理实验【M】.河南：河南大学出版社，1997:97-99。

实 验 论 文
2009-2010学年度（第二学期）

题 目：重力加速度的测量
学 院：物理与电子工程学院
专 业：物 理 学
学生姓名：赵 鹏
指导教师：莫海长 、刘永宏
学生编号：200872010148

普通物理力热学实验室