9.3.2角的比较与运算.doc

通过分步建模，培养学生解决实际问题能力的研究角平分线专题复习课例研究 哈尔滨市旭东中学 王欣欣一、主题与背景数学的学科具有有高度的抽象性、逻辑的严谨性、广泛的应用性的特点。这其中广泛的应用性就对应着建模思想。数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的素养。主要是从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，最终解决实际问题的过程。初中数学中常见的建模方法有：几何模型、等量关系（不等关系）模型、方程模型（不等式模型）等。通过建模教学，可以加深学生对数学知识和方法的理 解和掌握，调整学生的知识结构，深化知识层次。在初中阶段，数学模型的教学符合数学新课程改革理念。学生通过观察、收集、比较、分析、综合、归纳、转化、构建、解答等一系列认识活动来完成建模过程，认识和掌握数学与相关学科及现实生活的联系，感受到数学的广泛应用。同时，培养学生应用数学的意识和自主、合作、探究的精神，使学生能成为学习的主体。因此对于六年级学生，培养他们分步建模解决实际问题能力，同时渗透核心素养是有必要的，所以，我们将研究主题确立为通过分步建模，培养学生解决实际问题的能力的研究。二、 情境与描述这节课主要分为三个环节，下面是对各环节的描述。复习引入师：这节课我们一起进行一堂角平分线的专题复习课（板书课题）师：1.已知，如图，射线OM平分AOB，你能得到哪些结论？ 生：AOM=BOMAOB=2AOM AOB=2BOM师：还有吗？生： 师：好，请坐。知识点掌握的很扎实。师：同学们看PPT，你能快速说出下列各题的答案，并简单说一下你的解题思路吗？已知，射线OM平分AOB(1) 若AOB=60，则BOM=_(2) 若AOM=30，则AOB=_(3) 若BOM=30，则AOM=_生1：因为，所以BOM=30生2：因为，AOB=2AOM，所以AOB=60生3：因为，AOM=BOM，所以AOM=30师：很好，同学们都能根据已知选择恰当的结论进行解题，语言准确到位，以上是角平分线的简单应用，如果把它放入到稍复杂的题目中，你还能准确解题吗？环节一：2.已知，如图1，射线OM平分AOB，BOC=40，AOB=60,求COM的度数. 图1师:谁能给大家读一下题？生：已知，如图1，射线OM平分AOB，BOC=40，AOB=60,求COM的度数.师：要求：独立完成后小组讨论、板书，最后找同学汇报讨论结果。生1：板书生2：讲解思路如下解：射线OM平分AOB，且AOB=60BOC=40COM=BOC+BOM =40+30 =70师：很好，思路清晰，步骤完整，同学们可按这个步骤整理。整理完的同学，思考变式一及变式二，不用书写步骤，有思路即可举手。变式一：已知，如图1，射线OM平分AOB，BOC=40，COM=70，求AOB的度数.变式二：已知，如图1，射线OM平分AOB, BOC=40，COM=70，求AOM的度数.生1：BOM=COM-BOC，而AOB=2BOM，BOC=40，COM=70所以AOB=60生2：BOM=COM-BOC，而AOM=BOM，BOC=40，COM=70所以AOM=30师：请同学们思考一下，经过以上同学对2题以及变式一、二的讲解，你能总结一下做此类题的方法或思路吗？生1：读题后先看要求的是什么，然后找到它们之间的关系。生2：如果有角平分线，要恰当选择结论解题。师：同学们说的都很好。遇到此类题我们应找到未知角与已知角之间的和差关系，如果存在角平分线要恰当选择结论（半、倍、等的关系）进行解题。师：刚才我们研究的都是有图的，下面我们看一下，如果遇到无图的情况，那又该如何解题呢？（ppt）环节二3. 已知，射线OM平分AOB，BOC=40，AOB=60,求COM的度数.师：有人能迅速说出这道题的答案吗?生：70师:为什么你会这么快有答案呢？生：我观察到3题和2题一样。师：啊！很聪明！那这道题真如这名同学所说答案就是70？好，现在先独立思考，然后小组交流， 最后板书并汇报思路.（学生动手画图、求解、讨论、板书，教师深入学生之中。）生1：（板书如下）情况一：射线OC在AOB外部（步骤如2题）情况二：射线OC在AOB内部射线OM平分AOB，且AOB=60BOC=40COM=BOC-BOM =40-30 =10生2：思路：无图，想到有两种情况。情况一：射线OC在AOB外部，也就是2题。情况二：射线OC在AOB内部，COM=BOC-BOM，BOC=40而，所以COM =10.师：嗯，说的真好！但是有一点老师纠正一下，多解不是因为无图，而是由射线OC与AOB的位置决定的。师：我们刚才研究的都是一条角平分线以及建立未知角和已知角之间的的关系从而求解，那如果是两条角平分线呢？（PPT）环节三4. 已知，如图,AOB=60,BOC=40,射线OM、ON分别平分AOB、BOC，求MON的度数. （学生先独立思考，然后小组交流， 最后汇报思路.教师参与到学生的合作交流当中，指导汇报的方法.）师：有思路的同学举手。好这位同学说一下你的思路。生：MON=MOB+BON，MOB是AOB的一半，BON是BOC的一半，所以MON是AOC的一半，AOC=AOB+BOC，所以MON=50.师: 嗯，说得真好！这位同学先没用角的度数，而是找到了角之间的和差倍分关系，从而求出角的度数.还有其他方法吗？生：MOB是AOB的一半，所以MOB=30.BON是BOC的一半，BON=20.MON=MOB+BON,所以MON=50.师：好！这位同学是先用角平分线的结论求出小角的度数，最后找到.MON和MOB、BON之间的关系，求出角的度数.师：那对于下面这道题，相信同学们很快会有答案.5. 已知，AOB=60,BOC=40,射线OM、ON分别平分AOB、BOC，求MON的度数.生：老师，有两个值，其中一个值是MON=50，另一个是师：好，另一个值是多少呢？同学们在本上画一画另一种情况的图.生：画出另一种情况的图形，并用投影展示。 师：大家说的都非常好，那如果遇到无图，无度数的问题你能根据本节课所学答案吗？6题作为本节课的思考作业，希望同学们认真作答。下节课我们一起探讨。课后作业：已知，AOB和BOC(AOBBOC),射线OM、ON分别平分AOB、BOC,探究MON与AOC的关系，并进行说明.归纳总结师：同学们通过本节课的学习，你有那些收获和体会呢？生1：角平分线有五个结论。生2：无图可能有双解。生3：要结合已知条件，从结论出发，恰当运用角的和差倍分之间的关系。师：同学们说的都很好！我们做题时应找到未知角与已知角之间的和差倍分关系，如果存在角平分线要恰当选择结论（半、倍、等的关系）进行解题。无图要考虑是否多解，而多解的原因不是因为无图，而是由角与射线的位置关系决定的.三、 问题与讨论本节“角平分线的专题复习”经过了集体备课和研讨实践，研讨小组对本节课很多环节进行了修正、完善和补充。本节课角平分线的相关结论学生掌握的都比较扎实，难点有两处，其一是，如何运用未知角与已知角之间的和差倍分关系，找到突破口进行解题。其二是，产生多解的原因。为达到夯实基础，突破难点的目的，在备课时，大家很容易产生共识，首先让学生回顾以前学过的角平分线的相关结论，简单运用知识进行解题，并且让学生体会一条角平分线，图和条件不变的情况下求得不同的结论，再到无图甚至两条角平分线的情况下求得不同的结论。从而让学生感知，解题时恰当找到未知角与已知角之间的和差倍分关系，如果存在角平分线要恰当选择结论（半、倍、等的关系）进行解题的重要性。第一次上课后课题组成员展开深入讨论，A老师提出，课堂各个环节的设计没有问题，但是课堂上明显前松后紧，这样导致后面的重点没有明确清楚，匆匆带过。是否可以不用PPT，而是口头描述问题，加快进度呢？B老师对此则有不同见解，认为最好在PPT上有所体现，2题规范步骤，变式一和变式二简单说明思路即可，这样即可以加快上课进度，也可以达到本节课的目的。C老师提出，对活动的要求强调的不够细致，应该让学生明确要求才能有目的的进行活动。对于环节二，不敢放手，而且学生的评价语言运用较少，显得畏首畏尾。D老师提出，课堂上学生纠结多解的原因是因为无图，如果老师经过不断启发，学生也不能理解，教师可以点名原因，让学生不必纠结。对于小结起初我的想法是用黑板上的板书让学生总结，一些教师提出先让同学们总结，让学生养成思考的习惯，然后教师进行系统总结和提升，一些教师认为，不光板书要有必要的知识点，ppt也要有对知识点系统的梳理。最后我结合了以上老师的意见和自己的想法，呈现出了整堂课现在的每一个环节。四、 诠释与研究本节是一节专题复习课，复习是一种特殊的学习活动，具有重复性、系统性、综合和反思性。复习的主要目的是加强知识之间的联系、深化知识理解、优化知识结构、体会数学思想方法、发展数学认知。复习课的核心是知识体系的重组和知识的选择性应用。对于初中生而言复习能力是会不断提升的。本节课主要是围绕角平分线及未知角与已知角之间的和差倍分关系关系展开的，旨在使学生有分步分析的意识，培养学生分步分析和运用数学知识建立模型的能力。教育家苏霍姆林斯基曾经告诫我们：“希望你们要警惕，在课堂上不要总是教师在讲，这种做法不好让学生通过自己的努力去理解的东西，才能成为自己的东西，才是他真正掌握的东西。”本节课的设计主要是让学生参与，让学生体会，保证学生有充足的活动时间与思维空间，使他们对角平分线及未知角与已知角之间的和差倍分关系有更深刻的认识，从而突破难点。通过本节课的设计，我们呈现了此类专题复习课教学的基本方式，应该是教师提供适当的背景，适度的问题，学生用已有的知识去体验、发现、感受，最终形成数学模型，可这节课还有不同于其他专题复习课的地方，因为对于初一学生而言，他们刚刚接触几何问题，相对陌生。这也提醒初中教师面对刚进入初中学习的学生需要考虑他们的年龄特征、认知水平等问题。